Undicesimo esercizio

Esercizio 7.11

Siano primo e un intero. Dimostrare che

 

Sia l'insieme delle radici primitive -esime dell'unità, si ha

Se è radice di , segue che . Allora perché è una radice primitiva n-esima. Siccome si ha anche che , e eguagliando le due espressioni per si ha:
segue che . Allora distinguo i due casi:

  1. Se , , allora e per la relazione . Allora le radici di (cioè gli tali che ) coincidono con le radici primitive di -me di , e quindi .
  2. se , per la relazione , quindisi verificano due possibilità: 1. e quindi ; 2. e quindi .Allora tutte e sole le radici di sono radici primitive di -me di oppure le radici primitive -me di , e quindi , cioè .
 PrecedenteSuccessivo