Undicesimo esercizio

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Siano <math>p</math> primo e <math>n \ge 1</math> un intero. Dimostrare che
 
Siano <math>p</math> primo e <math>n \ge 1</math> un intero. Dimostrare che
<math display="block">\phi_{pn}(x) = \begin{cases} \phi_n(x^p) &\textrm{se $p \mid n$} \\ \frac{\phi_n(x^p)}{\phi_n(x)} &\textrm{se $ p \nmid n$} \end{cases}</math>
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<math display="block">\phi_{pn}(x) = \begin{cases} \phi_n(x^p) \quad p \mid n \\ \frac{\phi_n(x^p)}{\phi_n(x)} \quad p \nmid n \end{cases}</math>
 
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Esercizio 7.11

Siano primo e un intero. Dimostrare che

 

Sia l'insieme delle radici primitive -esime dell'unità, si ha

Se è radice di , segue che . Allora perché è una radice primitiva n-esima. Siccome si ha anche che , e eguagliando le due espressioni per si ha:
segue che . Allora distinguo i due casi:

  1. Se , , allora e per la relazione . Allora le radici di (cioè gli tali che ) coincidono con le radici primitive di -me di , e quindi .
  2. se , per la relazione , quindisi verificano due possibilità: 1. e quindi ; 2. e quindi .Allora tutte e sole le radici di sono radici primitive di -me di oppure le radici primitive -me di , e quindi , cioè .
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