Tredicesimo esercizio

Esercizio 7.13

Siano numeri primi distinti, e sia .

  1. Mostrare che è normale;
  2. Mostrare che è elementare abeliano di ordine . (dire che è elementare abeliano significa che , , è abeliano e tutti gli elementi di esclusa l'unità hanno ordine 2)


Suggerimento: una possibilità per mostrare la parte 2 è mostrare che i campi sono tutti distinti, al variare di sui prodotti non banali e distinti di elementi distinti dell'insieme che contiene .

 
  1. Siamo in caratteristica 0 e è campo di spezzamento del polinomio sopra , quindi è normale.
  2. Considero la catena di estensioni:
    Per il teorema della torre
    dove ogni fattore è perché per ogni , è uno zero del polinomio .Allora per un certo e dobbiamo provare che , cioè che .Supponendo di aver argomentato il suggerimento, osservo che è un campo intermedio fra e di grado 2, allora, ponendo ,
    Siccome supponiamo che i campi siano tutti distinti, anche i corrispondenti sottogruppi di indice 2 in sono tutti distinti e sono almeno , di conseguenza esistono almeno elementi in , cioè . Segue che .Gli elementi di hanno ordine 2, eccetto l'unita', infatti, dato , esso manda l'elemento in sé stesso oppure in , e quindi . è abeliano: in generale dato un gruppo , se per ogni, allora è abeliano. Infatti, dati , segue che . D'altra parte, implica e implica . Dall'uguglianza , moltiplicando a destra per e poi per , si ha .Infine argomentiamo il sugerimento: Sia , e suppongo per assurdo che . Se questo avviene, si deve avere in particolare che , cioè, preso un generico elemento in della forma , si deve avere.ì
    e sviluppando il quadrato
    Il caso si esclude perché se così fosse si avrebbe , con . Se invece si ha . Siccome abbiamo supposto , esisterà un che compare nella scrittura di ma non di , cioè esiste un che divide e non divide , e quindi l'equazione sopra non può essere vera.
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