Esercizio 7.3
Determinare il gruppo di Galois sopra
del campo di spezzamento
del polinomio
.
Campo di spezzamento
Pongo
, allora l'insieme delle radici di
è

Considero


e quindi non contiene le radici complesse di

, allora lo estendo ulteriormente e considero


Gruppo di Galois
In caratteristica 0 un polinomio irriducibile è separabile, e quindi
è normale. Segue che

e

è isomorfo a un sottogruppo di

.
Nota:
Con qualche nozione di Teoria dei Gruppi posso dedurre che
e' isomorfo a
(definito sotto). Posso tranquillamente saltare questa parte e l'esercizio rimane comunque valido,
oppure leggerla assumendo alcune cose (una sola per la verita') per vere.
Il primo fatto (che e' anche l'unico che non giustifichiamo) che serve e' che, a meno di isomorfismo, esistono
gruppi di ordine
. Tre sono abeliani (e questo lo sappiamo perche'
e le partizioni di
sono
) e precisamente

Poi ci sono il gruppo dei quaternioni

(che pure conosciamo gia') e il gruppo diedrale

che invece dobbiamo definire. Il modo piu' immediato per definirlo e' dire che

e' un gruppo con

elementi, precisamente

con il prodotto definito da

(nel senso che

ha ordine

e

ha ordine

) e

.
Questo basta per definire il prodotto di due elementi qualsiasi di

. Infatti per esempio da

segue che

perche' posso scrivere

.
Qui ho usato il fatto che

ha ordine

dunque

. Naturalmente e' anche vero che

e

. Allo stesso modo si prova che

, dove

. Posso scrivere in modo compatto che, da

, si deduce che

.
Per fare un altro esempio calcolo il prodotto di
per
e trovo

Se una avesse voglia e tempo potrebbe verificare che in questo modo abbiamo effettivamente definito un gruppo (oppure risparmiarsi la, pure un po' noiosa, verifica).
Piu' in generale il gruppo diedrale
di ordine
si puo' definire come il gruppo

dove

(sempre nel senso che

ha ordine

e

ha ordine

) e

. Ragionando come prima, in questo modo abbiamo definito il prodotto tra due elementi qualsiasi di

.
I gruppi diedrali hanno un'interpretazione geometrica. Infatti
e' il gruppo delle simmetrie di un poligono regolare con
lati.
Consideriamo per semplicita' il caso di
. Possiamo interpretare
come il gruppo delle simmetrie di un quadrato. pensiamo un quadrato nel piano con vertici nei punti di coordinate
e
. Indichiamo con
la rotazione di centro l'origine, angolo
in senso antiorario. Allora
manda il quadrato in se' e lo stesso fanno le sue potenze, che sono
rotazione di centro l'origine e angolo
e
rotazione di centro l'origine e angolo
.
Poi
e' l'identita'. Questo corrisponde nel gruppo all'elemento
di ordine
.
Le altre simmetrie del quadrato sono le riflessioni (che hanno tutte ordine
, perche' se le faccio due volte trovo l'identita') che, nel caso del quadrato, sono o riflessioni rispetto ad un asse di simmetria passante per due vertici opposti (e di queste riflessioni ce ne sono due) oppure
riflessioni rispetto ad un asse di simmetria passante per i punti medi di due lati opposti (e anche di queste riflessioni ce ne sono due). Nel gruppo queste riflessioni corrispondono agli elementi
e
che infatti hanno tutti ordine
come si puo' verificare facilmente.
Nel caso generale di
ho sempre una rotazione
di angolo
che avra' periodo
. Quindi ho in tutto
rotazioni che sono le potenze di
:
.
Poi se
e' pari ho le riflessioni, di cui
rispetto ad un asse passante per i punti medi di due lati opposti e
rispetto ad un asse passante due vertici opposti.
Se invece
e' dispari (per esempio
), le riflessioni di un
-gono regolare (per esempio il pentagono) sono tutte rispetto ad un asse che passa per un vertice e per il punto medio del lato opposto (e sono
le riflessioni totali).
In modo molto compatto si puo' definire
per generatori (
e
) e relazioni scrivendo

Usando le relazioni (

) si deduce che gli elementi di

sono proprio

e il prodotto nel gruppo.
Quello che interessa noi e' che ogni gruppo di ordine
e' isomorfo a uno tra

Affermiamo che
e' isomorfo a
. Infatti quello che distingue
tra i
gruppi di ordine
e' il fatto di avere un sottogruppo non normale di ordine
, per esempio il sottogruppo
. Per mostrare che
non e' normale, osservo che:

dove abbiamo usato il fatto che

.
Anche
ha un sottogruppo non normale di ordine
.
Per provare l'esistenza del sottogruppo non normale di
, osservo che
è un'estensione non normale: infatti, se fosse normale, ogni polinomio in
che ammette una radice in
si dovrebbe spezzare in fattori lineari distinti su
, ma questo non avviene, basta considerare il polinomio
. Segue quindi che
è un sottogruppo di
non normale; si ha anche
, allora
, cioè
. Concludo che
è isomorfo a
.
Affermiamo che esistono due elementi
che agiscono su
e
nel modo seguente:
;
.
Per giustificare l'esistenza di
e
, osservo che sicuramente esiste un elemento
tale che
perché
agisce transitivamente sulle radici di
. D'altra parte
agisce sulle radici del polinomio
, quindi
. Se
,
posto
l'automorfismo di coniugio che manda
in
e fissa
, e pongo
. Segue che
soddisfa le condizioni richieste infatti:


Rimane da mostrare che il coniugio in

definisce per restrizione un automorfismo di

su

, e vale la seguente proposizione:
Supponiamo di avere una catena di estensioni
. Sia
campo di spezzamento su
di un polinomio
. Sia
un omomorfismo (non banale) con
. Allora 
.
Dimostrazione
è campo di spezzamento su
del polinomio
(è a coefficienti in
quindi viene fissato da
). Allora
e
sono entrambi campi di spezzamento (in
) su
di
, ma il campo di spezzamento in
di un polinomio su
è unico, ed è dato da
dove gli
sono radici di
. Allora
.
Quindi, applicando la proposizione, siccome il coniugio fissa
, esso definisce un automorfismo da
in sé che fissa
.
Allora gli elementi
cercati esistono, ed essi soddisfano la condizione
, infatti:
inoltre

cioè

, allora

Sottogruppi








Campi intermedi
;
, inoltre
e per il teorema fondamentale di Galois
e quindi
.
; considero
e per prima cosa impongo
.
e tenendo conto che
e
:
e imponendo l'uguaglianza segue che
, e quindi gli elementi fissati da
sono della forma
Ora, impongo che gli elementi trovati vengano fissati anche da
:
allora, imponendo l'uguaglianza,
.
; considero un generico elemento fissato da
, della forma

Imponendo l'uguaglianza
quindi,
;
, infatti
fissa
,
,
quindi
.
; siccome gli elementi fissati da
sono già stati calcolati prima, segue che
e in particolare se pongo
, ottengo
.Anche
è fissato da
; osservo allora che
, inoltre
quindi
.
; calcolo gli elementi fissati da
, tenendo conto che
, e
:

Imponendo l'uguaglianza
da cui segue che
Mostro che
infatti, calcolando le potenze di
ottengo:


cioè
ha come polinomio minimo
. Quindi posso porre
, e scrivere
; tenendo conto che
e
, e preso un generico elemento 


Imponendo l'uguaglianza si ha
, quindi
e calcolando le potenze di
:
quindi
ha come polinomio minimo
,
e
ha grado 4.
;
,
. Dato
della forma

e imponendo l'uguaglianza:
quindi
infatti


cioè
ha polinomio minimo
e quindi
ha grado 4.