Terzo esercizio

(Pywikibot v.2)
 
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==Campo di spezzamento==
 
==Campo di spezzamento==
Pongo <math>\alpha=\sqrt[4]{2}</math>, allora l'insieme delle radici di <math>f(x)</math> è
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Pongo <math>\alpha=\sqrt[4]{2}</math>, allora l'insieme delle radici di <math>f(x)</math> è<math display="block">\{\alpha, \, i\alpha, \, i^2 \alpha, \, i^3 \alpha \} = \{\alpha, \, -\alpha, \,  i\alpha, \, -i \alpha\}</math>Considero<math display="block">\mathbb Q(\alpha) = \{ a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \alpha^3, \, a_i \in \mathbb Q \forall i\}</math><math>\mathbb Q(\alpha) \subset \mathbb R</math> e quindi non contiene le radici complesse di <math>f(x)</math>, allora lo estendo ulteriormente e considero<math display="block">M = \mathbb Q(\alpha,i) = \{ \alpha_0+\alpha_1 i, \, \alpha_i \in \mathbb Q(\alpha) \forall i\}</math><math display="block">= \{ a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \alpha^3+a_4 i + a_5 \alpha i+a_6 \alpha^2 i+a_7 \alpha^3 i, \, a_i \in \mathbb Q,\; \forall i\}</math>
<math display="block">\{\alpha, \, i\alpha, \, i^2 \alpha, \, i^3 \alpha \} = \{\alpha, \, -\alpha, \,  i\alpha, \, -i \alpha\}</math>
 
Considero
 
<math display="block">\mathbb Q(\alpha) = \{ a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \alpha^3, \, a_i \in \mathbb Q \forall i\}</math><math>\mathbb Q(\alpha) \subset \mathbb R</math> e quindi non contiene le radici complesse di <math>f(x)</math>, allora lo estendo ulteriormente e considero
 
<math display="block">M = \mathbb Q(\alpha,i) = \{ \alpha_0+\alpha_1 i, \, \alpha_i \in \mathbb Q(\alpha) \forall i\}</math><math display="block">= \{ a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \alpha^3+a_4 i + a_5 \alpha i+a_6 \alpha^2 i+a_7 \alpha^3 i, \, a_i \in \mathbb Q,\; \forall i\}</math>
 
  
 
==Gruppo di Galois==
 
==Gruppo di Galois==
In caratteristica 0 un polinomio irriducibile è separabile, e quindi <math>M \supseteq \mathbb Q</math> è normale. Segue che
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In caratteristica 0 un polinomio irriducibile è separabile, e quindi <math>M \supseteq \mathbb Q</math> è normale. Segue che<math display="block">|M:\mathbb Q| = |M:\mathbb Q(\alpha)|*|\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q| = 2*4 = 8 = o(G)</math>e <math>G</math> è isomorfo a un sottogruppo di <math>S_4</math>.
<math display="block">|M:\mathbb Q| = |M:\mathbb Q(\alpha)|*|\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q| = 2*4 = 8 = o(G)</math>
 
e <math>G</math> è isomorfo a un sottogruppo di <math>S_4</math>.
 
 
 
  
 
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Affermiamo che esistono due elementi <math>x,y \in G</math> che agiscono su <math>i</math> e <math>\alpha</math> nel modo seguente: <math>i^x = i, \, i^x = \alpha i</math>; <math>i^y = -i, \, \alpha^y = \alpha</math>.
 
Affermiamo che esistono due elementi <math>x,y \in G</math> che agiscono su <math>i</math> e <math>\alpha</math> nel modo seguente: <math>i^x = i, \, i^x = \alpha i</math>; <math>i^y = -i, \, \alpha^y = \alpha</math>.
 
  
 
Per giustificare l'esistenza di <math>x</math> e <math>y</math>, osservo che sicuramente esiste un elemento <math>\bar x \in G</math> tale che <math>\alpha^{\bar x} =\alpha i</math> perché <math>G</math> agisce transitivamente sulle radici di <math>f(x)</math>. D'altra parte <math>\bar x</math> agisce sulle radici del polinomio <math>x^2+1\in \mathbb Q[x]</math>, quindi <math>i^{\bar x}=\pm i</math>. Se <math>i^{\bar x} = -i</math>,
 
Per giustificare l'esistenza di <math>x</math> e <math>y</math>, osservo che sicuramente esiste un elemento <math>\bar x \in G</math> tale che <math>\alpha^{\bar x} =\alpha i</math> perché <math>G</math> agisce transitivamente sulle radici di <math>f(x)</math>. D'altra parte <math>\bar x</math> agisce sulle radici del polinomio <math>x^2+1\in \mathbb Q[x]</math>, quindi <math>i^{\bar x}=\pm i</math>. Se <math>i^{\bar x} = -i</math>,
posto <math>y</math> l'automorfismo di coniugio che manda <math>i</math> in <math>-i</math> e fissa <math>\mathbb Q</math>, e pongo <math>x = y \bar x</math>. Segue che <math>x</math>  soddisfa le condizioni richieste infatti:
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posto <math>y</math> l'automorfismo di coniugio che manda <math>i</math> in <math>-i</math> e fissa <math>\mathbb Q</math>, e pongo <math>x = y \bar x</math>. Segue che <math>x</math>  soddisfa le condizioni richieste infatti:<math display="block">\alpha^x = \alpha^{y \bar x} = \alpha^{\bar x} = \alpha i</math><math display="block">i^x = i^{y \bar x} = (-i)^{\bar x} = i</math>Rimane da mostrare che il coniugio in <math>\mathbb C</math> definisce per restrizione un automorfismo di <math>M</math> su <math>\mathbb Q</math>, e vale la seguente proposizione: ''Supponiamo di avere una catena di estensioni <math>N \supseteq M \supseteq K</math>. Sia <math>M</math> campo di spezzamento su <math>K</math> di un polinomio <math>g(x) \in K[x]</math>. Sia <math>\sigma:M \to N</math> un omomorfismo (non banale) con <math>\sigma_{|_K}=1_K</math>. Allora <math>M^\sigma = M</math>''.
<math display="block">\alpha^x = \alpha^{y \bar x} = \alpha^{\bar x} = \alpha i</math><math display="block">i^x = i^{y \bar x} = (-i)^{\bar x} = i</math>
 
 
 
Rimane da mostrare che il coniugio in <math>\mathbb C</math> definisce per restrizione un automorfismo di <math>M</math> su <math>\mathbb Q</math>, e vale la seguente proposizione: ''Supponiamo di avere una catena di estensioni <math>N \supseteq M \supseteq K</math>. Sia <math>M</math> campo di spezzamento su <math>K</math> di un polinomio <math>g(x) \in K[x]</math>. Sia <math>\sigma:M \to N</math> un omomorfismo (non banale) con <math>\sigma_{|_K}=1_K</math>. Allora <math>M^\sigma = M</math>''.
 
  
 
{{InizioDimostrazione}}
 
{{InizioDimostrazione}}
 
<math>M^\sigma</math> è campo di spezzamento  su <math>K^\sigma = K</math> del polinomio <math>(g(x))^\sigma = g(x)</math> (è a coefficienti in <math>K</math> quindi viene fissato da <math>\sigma</math>). Allora <math>M</math> e <math>M^\sigma</math> sono entrambi campi di spezzamento (in <math>N</math>) su <math>K</math> di <math>g(x)</math>, ma il campo di spezzamento in <math>N</math> di un polinomio su <math>K</math> è unico, ed è dato da <math>K(\alpha_1,\dots,\alpha_r)</math> dove gli <math>\alpha_i</math> sono radici di <math>g(x)</math>. Allora <math>M^\sigma = M</math>.
 
<math>M^\sigma</math> è campo di spezzamento  su <math>K^\sigma = K</math> del polinomio <math>(g(x))^\sigma = g(x)</math> (è a coefficienti in <math>K</math> quindi viene fissato da <math>\sigma</math>). Allora <math>M</math> e <math>M^\sigma</math> sono entrambi campi di spezzamento (in <math>N</math>) su <math>K</math> di <math>g(x)</math>, ma il campo di spezzamento in <math>N</math> di un polinomio su <math>K</math> è unico, ed è dato da <math>K(\alpha_1,\dots,\alpha_r)</math> dove gli <math>\alpha_i</math> sono radici di <math>g(x)</math>. Allora <math>M^\sigma = M</math>.
 
{{FineDimostrazione}}
 
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Quindi, applicando la proposizione, siccome il coniugio fissa <math>\mathbb Q</math>, esso definisce un automorfismo da <math>M</math> in sé che fissa <math>\mathbb Q</math>.
 
Quindi, applicando la proposizione, siccome il coniugio fissa <math>\mathbb Q</math>, esso definisce un automorfismo da <math>M</math> in sé che fissa <math>\mathbb Q</math>.
 
Allora gli elementi <math>x,y</math> cercati esistono, ed essi soddisfano la condizione <math>x^4=y^2=1</math>, infatti:
 
Allora gli elementi <math>x,y</math> cercati esistono, ed essi soddisfano la condizione <math>x^4=y^2=1</math>, infatti:
  
inoltre
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inoltre<math display="block">i^{yxy} = i, \quad \alpha^{yxy} = -\alpha i</math>cioè <math>yxy = x^3</math>, allora<math display="block">G = \{1,x,x^2, x^3, y, xy, x^2y, x^3 y \}</math>
<math display="block">i^{yxy} = i, \quad \alpha^{yxy} = -\alpha i</math>
 
cioè <math>yxy = x^3</math>, allora
 
<math display="block">G = \{1,x,x^2, x^3, y, xy, x^2y, x^3 y \}</math>
 
  
 
==Sottogruppi==
 
==Sottogruppi==
<math display="block">H_1 = \{ 1,x,x^2,x^3 \} \quad \hbox{ciclico}</math>
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<math display="block">H_1 = \{ 1,x,x^2,x^3 \} \quad \hbox{ciclico}</math><math display="block">H_2 = \{ 1,x^2,y,x^2 y \}</math><math display="block">H_3 = \{1,x^2,xy,x^3y\}</math><math display="block">H_4 = \{ 1,y\}</math><math display="block">H_5 = \{ 1,x^2\}</math><math display="block">H_6 = \{1,xy\}</math><math display="block">H_7 = \{ 1,x^2y\}</math><math display="block">H_8 = \{ 1,x^3y \}</math>Campi intermedi
<math display="block">H_2 = \{ 1,x^2,y,x^2 y \}</math>
 
<math display="block">H_3 = \{1,x^2,xy,x^3y\}</math>
 
<math display="block">H_4 = \{ 1,y\}</math>
 
<math display="block">H_5 = \{ 1,x^2\}</math>
 
<math display="block">H_6 = \{1,xy\}</math>
 
<math display="block">H_7 = \{ 1,x^2y\}</math>
 
<math display="block">H_8 = \{ 1,x^3y \}</math>
 
 
 
==Campi intermedi==
 
 
#<math>H_1 = \{1,x,x^2,x^3\}</math>; <math>H_1' \supseteq \mathbb Q(i)</math>, inoltre <math>|\mathbb Q(i):\mathbb Q|=2</math> e per il teorema fondamentale di Galois<math display="block">2 = |G:H_1| = |H_1':G'|</math>e quindi <math>H_1'=\mathbb Q(i)</math>.
 
#<math>H_1 = \{1,x,x^2,x^3\}</math>; <math>H_1' \supseteq \mathbb Q(i)</math>, inoltre <math>|\mathbb Q(i):\mathbb Q|=2</math> e per il teorema fondamentale di Galois<math display="block">2 = |G:H_1| = |H_1':G'|</math>e quindi <math>H_1'=\mathbb Q(i)</math>.
 
#<math>H_2=\{1,x^2,y,x^2y\}</math>; considero <math>\xi \in M</math> e per prima cosa impongo <math>\xi^{x^2} = \xi</math>.<math display="block">\xi = a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \alpha^3+a_4 i+a_5 i \alpha+a_6 i \alpha^2+a_7 i \alpha^3</math>e tenendo conto che <math>i^{x^2}=i</math> e <math>\alpha^{x^2}=-\alpha</math>:<math display="block">\xi^{x^2} = a_0-a_1 \alpha+a_2 \alpha^2-a_3 \alpha^3+a_4 i-a_5 i \alpha+a_6 i \alpha^2-a_7 \alpha^3 i</math>e imponendo l'uguaglianza segue che <math>a_1=a_3=a_5=a_7=0</math>, e quindi gli elementi fissati da <math>x^2</math> sono della forma<math display="block">\xi_1=a_0+a_2 \alpha^2+a_4 i+a_6 \alpha^2 i, \, \, a_i \in \mathbb Q \forall i</math>Ora, impongo che gli elementi trovati vengano fissati anche da <math>y</math>:<math display="block">\xi_1^y = a_0+a_2 \alpha^2-a_4 i -a_6 \alpha^2 i</math>allora, imponendo l'uguaglianza, <math>a_4=a_6=0</math>.<math display="block">H_2'' = \{ a_0+a_2 \alpha^2, \, a_0,a_2 \in \mathbb Q \} = \mathbb Q(\alpha^2) = \mathbb Q(\sqrt{2})</math>
 
#<math>H_2=\{1,x^2,y,x^2y\}</math>; considero <math>\xi \in M</math> e per prima cosa impongo <math>\xi^{x^2} = \xi</math>.<math display="block">\xi = a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \alpha^3+a_4 i+a_5 i \alpha+a_6 i \alpha^2+a_7 i \alpha^3</math>e tenendo conto che <math>i^{x^2}=i</math> e <math>\alpha^{x^2}=-\alpha</math>:<math display="block">\xi^{x^2} = a_0-a_1 \alpha+a_2 \alpha^2-a_3 \alpha^3+a_4 i-a_5 i \alpha+a_6 i \alpha^2-a_7 \alpha^3 i</math>e imponendo l'uguaglianza segue che <math>a_1=a_3=a_5=a_7=0</math>, e quindi gli elementi fissati da <math>x^2</math> sono della forma<math display="block">\xi_1=a_0+a_2 \alpha^2+a_4 i+a_6 \alpha^2 i, \, \, a_i \in \mathbb Q \forall i</math>Ora, impongo che gli elementi trovati vengano fissati anche da <math>y</math>:<math display="block">\xi_1^y = a_0+a_2 \alpha^2-a_4 i -a_6 \alpha^2 i</math>allora, imponendo l'uguaglianza, <math>a_4=a_6=0</math>.<math display="block">H_2'' = \{ a_0+a_2 \alpha^2, \, a_0,a_2 \in \mathbb Q \} = \mathbb Q(\alpha^2) = \mathbb Q(\sqrt{2})</math>

Versione delle 10:23, 23 set 2017

Esercizio 7.3

Determinare il gruppo di Galois sopra del campo di spezzamento del polinomio .

 

Campo di spezzamento

Pongo , allora l'insieme delle radici di è

Considero
e quindi non contiene le radici complesse di , allora lo estendo ulteriormente e considero

Gruppo di Galois

In caratteristica 0 un polinomio irriducibile è separabile, e quindi è normale. Segue che

e è isomorfo a un sottogruppo di .

Nota

Con qualche nozione di Teoria dei Gruppi posso dedurre che e' isomorfo a (definito sotto). Posso tranquillamente saltare questa parte e l'esercizio rimane comunque valido, oppure leggerla assumendo alcune cose (una sola per la verita') per vere.

Il primo fatto (che e' anche l'unico che non giustifichiamo) che serve e' che, a meno di isomorfismo, esistono gruppi di ordine . Tre sono abeliani (e questo lo sappiamo perche' e le partizioni di sono ) e precisamente

Poi ci sono il gruppo dei quaternioni (che pure conosciamo gia') e il gruppo diedrale che invece dobbiamo definire. Il modo piu' immediato per definirlo e' dire che e' un gruppo con elementi, precisamente
con il prodotto definito da (nel senso che ha ordine e ha ordine ) e . Questo basta per definire il prodotto di due elementi qualsiasi di . Infatti per esempio da segue che perche' posso scrivere . Qui ho usato il fatto che ha ordine dunque . Naturalmente e' anche vero che e . Allo stesso modo si prova che , dove . Posso scrivere in modo compatto che, da , si deduce che .

Per fare un altro esempio calcolo il prodotto di per e trovo

Se una avesse voglia e tempo potrebbe verificare che in questo modo abbiamo effettivamente definito un gruppo (oppure risparmiarsi la, pure un po' noiosa, verifica).

Piu' in generale il gruppo diedrale di ordine si puo' definire come il gruppo

dove (sempre nel senso che ha ordine e ha ordine ) e . Ragionando come prima, in questo modo abbiamo definito il prodotto tra due elementi qualsiasi di .

I gruppi diedrali hanno un'interpretazione geometrica. Infatti e' il gruppo delle simmetrie di un poligono regolare con lati. Consideriamo per semplicita' il caso di . Possiamo interpretare come il gruppo delle simmetrie di un quadrato. pensiamo un quadrato nel piano con vertici nei punti di coordinate e . Indichiamo con la rotazione di centro l'origine, angolo in senso antiorario. Allora manda il quadrato in se' e lo stesso fanno le sue potenze, che sono rotazione di centro l'origine e angolo e rotazione di centro l'origine e angolo . Poi e' l'identita'. Questo corrisponde nel gruppo all'elemento di ordine . Le altre simmetrie del quadrato sono le riflessioni (che hanno tutte ordine , perche' se le faccio due volte trovo l'identita') che, nel caso del quadrato, sono o riflessioni rispetto ad un asse di simmetria passante per due vertici opposti (e di queste riflessioni ce ne sono due) oppure riflessioni rispetto ad un asse di simmetria passante per i punti medi di due lati opposti (e anche di queste riflessioni ce ne sono due). Nel gruppo queste riflessioni corrispondono agli elementi e che infatti hanno tutti ordine come si puo' verificare facilmente.

Nel caso generale di ho sempre una rotazione di angolo che avra' periodo . Quindi ho in tutto rotazioni che sono le potenze di : .

Poi se e' pari ho le riflessioni, di cui rispetto ad un asse passante per i punti medi di due lati opposti e rispetto ad un asse passante due vertici opposti. Se invece e' dispari (per esempio ), le riflessioni di un -gono regolare (per esempio il pentagono) sono tutte rispetto ad un asse che passa per un vertice e per il punto medio del lato opposto (e sono le riflessioni totali).

In modo molto compatto si puo' definire per generatori ( e ) e relazioni scrivendo

Usando le relazioni ( ) si deduce che gli elementi di sono proprio e il prodotto nel gruppo.

Quello che interessa noi e' che ogni gruppo di ordine e' isomorfo a uno tra


Affermiamo che e' isomorfo a . Infatti quello che distingue tra i gruppi di ordine e' il fatto di avere un sottogruppo non normale di ordine , per esempio il sottogruppo . Per mostrare che non e' normale, osservo che:

dove abbiamo usato il fatto che .

Anche ha un sottogruppo non normale di ordine . Per provare l'esistenza del sottogruppo non normale di , osservo che è un'estensione non normale: infatti, se fosse normale, ogni polinomio in che ammette una radice in si dovrebbe spezzare in fattori lineari distinti su , ma questo non avviene, basta considerare il polinomio . Segue quindi che è un sottogruppo di non normale; si ha anche

, allora , cioè . Concludo che è isomorfo a .


Affermiamo che esistono due elementi che agiscono su e nel modo seguente: ; .

Per giustificare l'esistenza di e , osservo che sicuramente esiste un elemento tale che perché agisce transitivamente sulle radici di . D'altra parte agisce sulle radici del polinomio , quindi . Se , posto l'automorfismo di coniugio che manda in e fissa , e pongo . Segue che soddisfa le condizioni richieste infatti:

Rimane da mostrare che il coniugio in definisce per restrizione un automorfismo di su , e vale la seguente proposizione: Supponiamo di avere una catena di estensioni . Sia campo di spezzamento su di un polinomio . Sia un omomorfismo (non banale) con . Allora .

Dimostrazione

è campo di spezzamento su del polinomio (è a coefficienti in quindi viene fissato da ). Allora e sono entrambi campi di spezzamento (in ) su di , ma il campo di spezzamento in di un polinomio su è unico, ed è dato da dove gli sono radici di . Allora .

 

Quindi, applicando la proposizione, siccome il coniugio fissa , esso definisce un automorfismo da in sé che fissa . Allora gli elementi cercati esistono, ed essi soddisfano la condizione , infatti:

inoltre

cioè , allora

Sottogruppi

Campi intermedi

  1. ; , inoltre e per il teorema fondamentale di Galois
    e quindi .
  2. ; considero e per prima cosa impongo .
    e tenendo conto che e :
    e imponendo l'uguaglianza segue che , e quindi gli elementi fissati da sono della forma
    Ora, impongo che gli elementi trovati vengano fissati anche da :
    allora, imponendo l'uguaglianza, .
  3. ; considero un generico elemento fissato da , della forma
    Imponendo l'uguaglianza
    quindi,
  4. ; , infatti fissa , , quindi .
  5. ; siccome gli elementi fissati da sono già stati calcolati prima, segue che
    e in particolare se pongo , ottengo .Anche è fissato da ; osservo allora che , inoltre quindi .
  6. ; calcolo gli elementi fissati da , tenendo conto che , e :
    Imponendo l'uguaglianza
    da cui segue che
    Mostro che infatti, calcolando le potenze di ottengo:
    cioè ha come polinomio minimo. Quindi posso porre , e scrivere
  7. ; tenendo conto che e , e preso un generico elemento
    Imponendo l'uguaglianza si ha , quindi
    e calcolando le potenze di :
    quindi ha come polinomio minimo , e ha grado 4.
  8. ; , . Dato della forma
    e imponendo l'uguaglianza:
    quindi
    infatti
    cioè ha polinomio minimo e quindi ha grado 4.
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