Sottogruppi di ordine 2

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Dare un esempio di campi tali che <math>K \subseteq L \subseteq M</math> e <math>L \supseteq K</math> è un'estensione normale, <math>M \supseteq L</math> è un'estensione normale ma <math>M \supseteq K</math> non è un'estensione normale.
 
Dare un esempio di campi tali che <math>K \subseteq L \subseteq M</math> e <math>L \supseteq K</math> è un'estensione normale, <math>M \supseteq L</math> è un'estensione normale ma <math>M \supseteq K</math> non è un'estensione normale.
 
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Siano <math>p</math> primo e <math>n \ge 1</math> un intero. Dimostrare che
 
Siano <math>p</math> primo e <math>n \ge 1</math> un intero. Dimostrare che
 
<math display="block">\phi_{pn}(x) = \begin{cases} \phi_n(x^p) &\textrm{se $p \mid n$} \\ \frac{\phi_n(x^p)}{\phi_n(x)} &\textrm{se $ p \nmid n$} \end{cases}</math>
 
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Sia <math>M</math> il campo di spezzamento di <math>x^4-2</math> su <math>\mathbb Q</math> in <math>\mathbb C</math>. Mostrare che <math>M = \mathbb Q(i+\sqrt[4]{2})</math>.
 
Sia <math>M</math> il campo di spezzamento di <math>x^4-2</math> su <math>\mathbb Q</math> in <math>\mathbb C</math>. Mostrare che <math>M = \mathbb Q(i+\sqrt[4]{2})</math>.
  
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Siano <math>p_1,p_2,\dots,p_n</math> numeri primi distinti, e sia <math>M = \mathbb Q(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2},\dots,\sqrt{p_n})</math>.  
 
Siano <math>p_1,p_2,\dots,p_n</math> numeri primi distinti, e sia <math>M = \mathbb Q(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2},\dots,\sqrt{p_n})</math>.  
 
#Mostrare che <math>M \supseteq \mathbb Q</math> è normale;
 
#Mostrare che <math>M \supseteq \mathbb Q</math> è normale;
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Nelle ipotesi dell'esercizio 2, mostrare che per ogni indice <math>i</math>, esiste <math>g_i \in \mathcal G(M/\mathbb Q)</math> tale che <math>\sqrt{p_i}^{g_i} = -\sqrt{p_i}</math>, mentre <math>\sqrt{p_j}^{g_i} = \sqrt{p_j}</math> per <math>j \neq i</math>. Usare questo fatto per mostrare che <math>\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2}, \dots, \sqrt{p_n}</math> sono indipendenti su <math>\mathbb Q</math>.
 
Nelle ipotesi dell'esercizio 2, mostrare che per ogni indice <math>i</math>, esiste <math>g_i \in \mathcal G(M/\mathbb Q)</math> tale che <math>\sqrt{p_i}^{g_i} = -\sqrt{p_i}</math>, mentre <math>\sqrt{p_j}^{g_i} = \sqrt{p_j}</math> per <math>j \neq i</math>. Usare questo fatto per mostrare che <math>\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2}, \dots, \sqrt{p_n}</math> sono indipendenti su <math>\mathbb Q</math>.
 
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Nelle ipotesi degli esercizi 2 e 3, mostrare che <math>M = \mathbb Q(\sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}+\dots +\sqrt{p_n})</math>.
 
Nelle ipotesi degli esercizi 2 e 3, mostrare che <math>M = \mathbb Q(\sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}+\dots +\sqrt{p_n})</math>.
  
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Trovare un polinomio esplicito <math>f(x) \in \mathbb Q[x]</math> il cui gruppo di Galois abbia ordine <math>3</math>.
 
Trovare un polinomio esplicito <math>f(x) \in \mathbb Q[x]</math> il cui gruppo di Galois abbia ordine <math>3</math>.
  

Versione attuale delle 15:21, 26 ago 2018

Gli elementi di ordine 2 nel gruppo considerato sono , quindi i sottogruppi di ordine 2 sono , , . Determiniamo i campi intermedi corrispondenti:

  • . Per calcoli precedenti

  • ; siccome , preso si ha

e imponendo si ottiene . Quindi

  • . Siccome , dato si ha

e imponendo si ha
quindi



Esercizio 7.10

Dare un esempio di campi tali che e è un'estensione normale, è un'estensione normale ma non è un'estensione normale.

 

Avevamo precedentemente mostrato che il campo di spezzamento su del polinomio è . Pongo e , in questo modo non è normale perché ammette una radice in ma non si spezza su .


Se pongo :

  1. .
  2. è normale perché è campo di spezzamento su del polinomio .
  3. è normale perché è campo di spezzamento su del polinomio ;
  4. non è normale perché il polinomio ha una radice in ma non si spezza su .


Esercizio 7.11

Siano primo e un intero. Dimostrare che

 

Sia l'insieme delle radici primitive -esime dell'unità, si ha

Se è radice di , segue che . Allora perché è una radice primitiva n-esima. Siccome si ha anche che , e eguagliando le due espressioni per si ha:
segue che . Allora distinguo i due casi:

  1. Se , , allora e per la relazione . Allora le radici di (cioè gli tali che ) coincidono con le radici primitive di -me di , e quindi .
  2. se , per la relazione , quindisi verificano due possibilità: 1. e quindi ; 2. e quindi .Allora tutte e sole le radici di sono radici primitive di -me di oppure le radici primitive -me di , e quindi , cioè .


Esercizio 7.12

Sia il campo di spezzamento di su in . Mostrare che .


Suggerimento: trovare almeno cinque elementi distinti nell'orbita di sotto l'azione di .

 

Abbiamo dimostrato precedentemente che, se pongo , e , con

Pongo e cerco almeno cinque elementi distinti dell'orbita di sotto l'azione di :

Ora mostro che . L'inclusione è ovvia perché . Viceversa, proviamo che . Considero il polinomio minimo di sopra . Gli elementi della forma con sono ancora radici di , infatti, applicando all'equazione ottengo . Con i conti precedenti ho trovato almeno cinque radici distinte di , quindi , cioè .


Sappiamo anche che , e quindi , ma allora unendo queste due condizioni l'unica possibilità è che , cioè .


Esercizio 7.13

Siano numeri primi distinti, e sia .

  1. Mostrare che è normale;
  2. Mostrare che è elementare abeliano di ordine . (dire che è elementare abeliano significa che , , è abeliano e tutti gli elementi di esclusa l'unità hanno ordine 2)


Suggerimento: una possibilità per mostrare la parte 2 è mostrare che i campi sono tutti distinti, al variare di sui prodotti non banali e distinti di elementi distinti dell'insieme che contiene .

 
  1. Siamo in caratteristica 0 e è campo di spezzamento del polinomio sopra , quindi è normale.
  2. Considero la catena di estensioni:
    Per il teorema della torre
    dove ogni fattore è perché per ogni , è uno zero del polinomio .Allora per un certo e dobbiamo provare che , cioè che .Supponendo di aver argomentato il suggerimento, osservo che è un campo intermedio fra e di grado 2, allora, ponendo ,
    Siccome supponiamo che i campi siano tutti distinti, anche i corrispondenti sottogruppi di indice 2 in sono tutti distinti e sono almeno , di conseguenza esistono almeno elementi in , cioè . Segue che .Gli elementi di hanno ordine 2, eccetto l'unita', infatti, dato , esso manda l'elemento in sé stesso oppure in , e quindi . è abeliano: in generale dato un gruppo , se per ogni, allora è abeliano. Infatti, dati , segue che . D'altra parte, implica e implica . Dall'uguglianza , moltiplicando a destra per e poi per , si ha .Infine argomentiamo il sugerimento: Sia , e suppongo per assurdo che . Se questo avviene, si deve avere in particolare che , cioè, preso un generico elemento in della forma , si deve avere.ì
    e sviluppando il quadrato
    Il caso si esclude perché se così fosse si avrebbe , con . Se invece si ha . Siccome abbiamo supposto , esisterà un che compare nella scrittura di ma non di , cioè esiste un che divide e non divide , e quindi l'equazione sopra non può essere vera.


Esercizio 7.14

Nelle ipotesi dell'esercizio 2, mostrare che per ogni indice , esiste tale che , mentre per . Usare questo fatto per mostrare che sono indipendenti su .

 


Dato , esso è determinato dalla sua azione sulle radici; abbiamo mostrato nell'esercizio precedente che in ci sono esattamente elementi, quindi deve necessariamente includere i morfismi tali che e .


Mostriamo ora la lineare indipendenza dei : Supponiamo di avere una combinazione lineare della forma

Applicando a entrambi i membri ottengo
e siccome i stanno in e vengono fissati si ha
ed eguagliando i coefficienti rispetto agli elementi della base nelle due combinazioni lineari ottengo , cioè . Ripetendo questo procedimento per ogni ottengo che tutti gli scalari sono nulli.

Esercizio 7.15

Nelle ipotesi degli esercizi 2 e 3, mostrare che .


Suggerimento: mostrare che l'orbita di sotto l'azione di contiene almeno elementi distinti.

 


Cerco elementi distinti dell'orbita di sotto l'azione di , dove pongo . Osservo che

e quindi le immagini di mediante i sono elementi distinti dell'orbita. Poi, se considero prodotti della forma , si ha che
e ottengo elementi distinti dell'orbita.


Considero allora tutti i possibili prodotti di elementi distinti di , che sono ; applicandoli a ottengo elementi nell'orbita di , della forma

Mostro che gli elementi ottenuti sono tutti distinti: Considero due prodotti di elementi di , devo mostrare che . Sia e ; Se supponiamo per assurdo che segue che

ma allora, siccome i sono indipendenti, segue che , e quindi .


Mostrare che l'estensione è semplice equivale a mostrare che . Sappiamo che e abbiamo appena mostrato che , però siccome vale l'inclusione , si deve avere , cioè .


Esercizio 7.16

Trovare un polinomio esplicito il cui gruppo di Galois abbia ordine .


Suggerimento: Considerare con radice settima primitiva di 1.

 

Data radice settima primitiva dell'unità, , e è un gruppo ciclico di ordine . Siccome il teorema di Lagrange si inverte nei gruppi ciclici, esiste un sottogruppo con , cioè . Se ad esempio prendo tale che , si ha che perché in (infatti ).


Calcolo il corrispondente campo intermedio:

Siccome il polinomio minimo di è che ha grado , segue che e

Applico ad un generico elemento di :
e riducendo i coefficienti modulo :
e siccome è radice del polinomio ciclotomico, si ha che , quindi
e imponendo ottengo
quindi gli elementi di sono della forma:
Osservo che
e sostituendo l'espressione di :
è radice di . Se pongo , segue che è normale perché è normale in . Se ammette una radice in , allora si spezza in fattori lineari su . Inoltre quindi è campo di spezzamento di su . Infine , e quindi è il polinomio cercato.

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