Settimo esercizio

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Sia <math>\omega \in \mathbb C</math> radice primitiva <math>p</math>-esima dell'unità, cioè <math>\omega = \cos(2\pi/p)+i\sin(2\pi/p)</math> e
 
Sia <math>\omega \in \mathbb C</math> radice primitiva <math>p</math>-esima dell'unità, cioè <math>\omega = \cos(2\pi/p)+i\sin(2\pi/p)</math> e
 
considero <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math>. Calcolare traccia e norma, <math>t(\omega)</math> e <math>n(\omega)</math>, di <math>\omega</math> in <math>\mathbb Q(\omega)\supseteq\mathbb Q</math>.
 
considero <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math>. Calcolare traccia e norma, <math>t(\omega)</math> e <math>n(\omega)</math>, di <math>\omega</math> in <math>\mathbb Q(\omega)\supseteq\mathbb Q</math>.

Versione attuale delle 14:25, 21 mag 2018

Esercizio 7.7

Sia radice primitiva -esima dell'unità, cioè e considero . Calcolare traccia e norma, e , di in .

 

Per le osservazioni precedenti sappiamo che e quindi è un gruppo ciclico di ordine , chiamo i suoi elementi .

Gli elementi di sono determinati dalla loro azione su , e sono tali che per , in particolare sia tale che .

CALCOLO DELLA TRACCIA: Per definizione

e in particolare, , e siccome è radice del polinomio ciclotomico, quindi .

CALCOLO DELLA NORMA:

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