Settimo esercizio

(Pywikibot v.2)
 
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Per le osservazioni precedenti sappiamo che <math>\mathcal G(\mathbb Q(\omega)/\mathbb Q) \cong U_p</math> e quindi è un gruppo ciclico di ordine <math>p-1</math>, chiamo i suoi elementi <math>\{ g_1,g_2,\dots,g_{p-1}\}</math>.
 
Per le osservazioni precedenti sappiamo che <math>\mathcal G(\mathbb Q(\omega)/\mathbb Q) \cong U_p</math> e quindi è un gruppo ciclico di ordine <math>p-1</math>, chiamo i suoi elementi <math>\{ g_1,g_2,\dots,g_{p-1}\}</math>.
 
  
 
Gli elementi di <math>\mathcal G(\mathbb Q(\omega)/\mathbb Q)</math> sono determinati dalla loro azione su <math>\omega</math>, e sono tali che  <math>\omega \mapsto \omega^i</math> per <math>i =1,\dots,p-1</math>, in particolare sia <math>g_i</math> tale che <math>\omega \mapsto \omega^i</math>.
 
Gli elementi di <math>\mathcal G(\mathbb Q(\omega)/\mathbb Q)</math> sono determinati dalla loro azione su <math>\omega</math>, e sono tali che  <math>\omega \mapsto \omega^i</math> per <math>i =1,\dots,p-1</math>, in particolare sia <math>g_i</math> tale che <math>\omega \mapsto \omega^i</math>.
  
 
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CALCOLO DELLA TRACCIA: Per definizione<math display="block">t(\omega) = \omega^{g_1}+\omega^{g_2}+\dots +\omega^{g_n}</math><math display="block">= \sum_{i=1}^{p-1} \omega^i = \omega+\omega^2+\dots +\omega^{p-1}</math>e in particolare, <math>t(\omega)+1 = \phi_p(\omega)</math>, e siccome <math>\omega</math> è radice del polinomio ciclotomico, <math>\phi_p(\omega)=0</math> quindi <math>t(\omega)=-1</math>.
CALCOLO DELLA TRACCIA: Per definizione
 
<math display="block">t(\omega) = \omega^{g_1}+\omega^{g_2}+\dots +\omega^{g_n}</math><math display="block">= \sum_{i=1}^{p-1} \omega^i = \omega+\omega^2+\dots +\omega^{p-1}</math>
 
e in particolare, <math>t(\omega)+1 = \phi_p(\omega)</math>, e siccome <math>\omega</math> è radice del polinomio ciclotomico, <math>\phi_p(\omega)=0</math> quindi <math>t(\omega)=-1</math>.
 
 
 
  
 
CALCOLO DELLA NORMA:
 
CALCOLO DELLA NORMA:
 
<math display="block">n(\omega) = \prod_{i=1}^{p-1} \omega^{g_i} = \prod_{i=1}^{p-1} \omega^i</math><math display="block">= \omega^{\sum_{i=1}^{p-1} i} = \omega^{p(p-1)/2} = (1)^{(p-1)/2} =1</math>
 
<math display="block">n(\omega) = \prod_{i=1}^{p-1} \omega^{g_i} = \prod_{i=1}^{p-1} \omega^i</math><math display="block">= \omega^{\sum_{i=1}^{p-1} i} = \omega^{p(p-1)/2} = (1)^{(p-1)/2} =1</math>

Versione delle 10:26, 23 set 2017

Esercizio 7.7

Sia radice primitiva -esima dell'unità, cioè e considero . Calcolare traccia e norma, e , di in .

 

Per le osservazioni precedenti sappiamo che e quindi è un gruppo ciclico di ordine , chiamo i suoi elementi .

Gli elementi di sono determinati dalla loro azione su , e sono tali che per , in particolare sia tale che .

CALCOLO DELLA TRACCIA: Per definizione

e in particolare, , e siccome è radice del polinomio ciclotomico, quindi .

CALCOLO DELLA NORMA:

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