Sesto esercizio

Esercizio 7.6

Determinare le radici seste dell'unità su .

 

Trovare le radici seste dell'unità in equivale a trovare il campo di spezzamento del polinomio su .


Osservo che gli elementi e in sono radici seste dell'unità, in particolare e , e si ha

Pongo e .


Considero con radice di , cioè .

Verifico se contiene radici di , cioè, preso un elemento , verifico se soddisfa l'equazione .
e siccome ,
e quest'equazione è soddisfatta se
Osservo che , è una soluzione, quindi è radice di . Allora è campo di spezzamento per .


Determino l'altra radice di eseguendo la divisione:

quindi , cioè l'altra radice di è .


Analogamente si verifica che l'altra radice di è .


Procedimento alternativo: si possono trovare le radici dei due polinomi con la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.


Concludo che le radici seste dell'unità sono

Si ha che , quindi ci sono due radici primitive seste. Osservo che

Quindi in particolare, le radici primitive seste sono .

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