Sesto esercizio

(Pywikibot v.2)
 
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Trovare le radici seste dell'unità in <math>F_5</math> equivale a trovare il campo di spezzamento del polinomio <math>f(x)=x^6-1</math> su <math>F_5</math>.
 
Trovare le radici seste dell'unità in <math>F_5</math> equivale a trovare il campo di spezzamento del polinomio <math>f(x)=x^6-1</math> su <math>F_5</math>.
  
 
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Osservo che gli elementi <math>1</math> e <math>4</math> in <math>F_5</math> sono radici seste dell'unità, in particolare <math>x+4 = x-1 \mid f(x)</math> e <math>x+1 \mid f(x)</math>, e si ha<math display="block">f(x) = x^6-1 = (x^3+1)(x^3-1) = (x+1)(x^2-x+1) (x-1) (x^2+x+1)</math>Pongo <math>g(x)=x^2+x+1</math> e <math>h(x)=x^2-x+1</math>.
Osservo che gli elementi <math>1</math> e <math>4</math> in <math>F_5</math> sono radici seste dell'unità, in particolare <math>x+4 = x-1 \mid f(x)</math> e <math>x+1 \mid f(x)</math>, e si ha
 
<math display="block">f(x) = x^6-1 = (x^3+1)(x^3-1) = (x+1)(x^2-x+1) (x-1) (x^2+x+1)</math>
 
Pongo <math>g(x)=x^2+x+1</math> e <math>h(x)=x^2-x+1</math>.
 
 
 
  
 
Considero <math>K_0 = \frac{F_5[x]}{(x^2+x+1)} = F_5(\alpha)</math> con <math>\alpha</math> radice di <math>g(x)</math>, cioè <math>\alpha^2 = 4\alpha+4</math>.
 
Considero <math>K_0 = \frac{F_5[x]}{(x^2+x+1)} = F_5(\alpha)</math> con <math>\alpha</math> radice di <math>g(x)</math>, cioè <math>\alpha^2 = 4\alpha+4</math>.
<math display="block">K_0 = \{ a+b\alpha, \, a,b \in F_5, \, \alpha^2 = 4\alpha+4 \}</math>
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<math display="block">K_0 = \{ a+b\alpha, \, a,b \in F_5, \, \alpha^2 = 4\alpha+4 \}</math>Verifico se <math>K_0</math> contiene radici di <math>h(x)</math>, cioè, preso un elemento <math>a+b \alpha \in K_0</math>, verifico se soddisfa l'equazione <math>h(a+b\alpha)=0</math>.<math display="block">(a+b\alpha)^2-a-b\alpha+1 =0</math><math display="block">a^2+2ab \alpha+b^2 \alpha^2-a-b\alpha+1=0</math>e siccome <math>\alpha^2 = 4\alpha+4</math>,<math display="block">a^2+1+2ab \alpha+b^2 (4\alpha+4)-a-b\alpha+1=0</math><math display="block">a^2+1+2ab \alpha+4b^2 \alpha+4b^2-a-b\alpha+1=0</math><math display="block">(2ab+4b^2-b) \alpha+4b^2-a+2+a^2=0</math>e quest'equazione è soddisfatta se<math display="block">\begin{cases} a^2+4b^2+4a+1 =0 \\ 2ab+4b^2+4b=0 \end{cases}</math>Osservo che <math>a=0, b=-1</math>,  è una soluzione, quindi <math>-\alpha \in K_0</math> è radice di <math>h(x)</math>.
Verifico se <math>K_0</math> contiene radici di <math>h(x)</math>, cioè, preso un elemento <math>a+b \alpha \in K_0</math>, verifico se soddisfa l'equazione <math>h(a+b\alpha)=0</math>.
 
<math display="block">(a+b\alpha)^2-a-b\alpha+1 =0</math><math display="block">a^2+2ab \alpha+b^2 \alpha^2-a-b\alpha+1=0</math>
 
e siccome <math>\alpha^2 = 4\alpha+4</math>,
 
<math display="block">a^2+1+2ab \alpha+b^2 (4\alpha+4)-a-b\alpha+1=0</math><math display="block">a^2+1+2ab \alpha+4b^2 \alpha+4b^2-a-b\alpha+1=0</math><math display="block">(2ab+4b^2-b) \alpha+4b^2-a+2+a^2=0</math>
 
e quest'equazione è soddisfatta se
 
<math display="block">\begin{cases} a^2+4b^2+4a+1 =0 \\ 2ab+4b^2+4b=0 \end{cases}</math>
 
Osservo che <math>a=0, b=-1</math>,  è una soluzione, quindi <math>-\alpha \in K_0</math> è radice di <math>h(x)</math>.
 
 
Allora <math>K_0</math> è campo di spezzamento per <math>f(x)</math>.
 
Allora <math>K_0</math> è campo di spezzamento per <math>f(x)</math>.
 
  
 
Determino l'altra radice di <math>g(x)</math> eseguendo la divisione:
 
Determino l'altra radice di <math>g(x)</math> eseguendo la divisione:
 
<math display="block">\frac{x^2+x+1}{x-\alpha}=</math><math display="block">q_1 = x, \, r_1 = x^2+x+1-x(x-\alpha) = (1+\alpha) x+1</math><math display="block">q_2 = 1+\alpha, \, r_2 = (1+\alpha) x+1-(1+\alpha)(x-\alpha) = \alpha^2+\alpha+1 =0</math>
 
<math display="block">\frac{x^2+x+1}{x-\alpha}=</math><math display="block">q_1 = x, \, r_1 = x^2+x+1-x(x-\alpha) = (1+\alpha) x+1</math><math display="block">q_2 = 1+\alpha, \, r_2 = (1+\alpha) x+1-(1+\alpha)(x-\alpha) = \alpha^2+\alpha+1 =0</math>
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quindi <math>x^2+x+1 = (x-\alpha)(x-1-\alpha)</math>, cioè l'altra radice di <math>g(x)</math> è <math>1+\alpha</math>.
 
quindi <math>x^2+x+1 = (x-\alpha)(x-1-\alpha)</math>, cioè l'altra radice di <math>g(x)</math> è <math>1+\alpha</math>.
 
  
 
Analogamente si verifica che l'altra radice di <math>h(x)</math> è <math>-1-\alpha</math>.
 
Analogamente si verifica che l'altra radice di <math>h(x)</math> è <math>-1-\alpha</math>.
 
  
 
''Procedimento alternativo'': si possono trovare le radici dei due polinomi <math>g(x), h(x)</math> con la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.
 
''Procedimento alternativo'': si possono trovare le radici dei due polinomi <math>g(x), h(x)</math> con la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.
  
 
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Concludo che le radici seste dell'unità sono<math display="block">\{ 1, \, -1, \,\alpha, -\alpha, \, \alpha+1, \, -\alpha-1 \}</math>Si ha che <math>\varphi(6) =2</math>, quindi ci sono due radici primitive seste. Osservo che<math display="block">\alpha^2 = -\alpha-1</math><math display="block">\alpha^3 = \alpha*(-\alpha-1) = -\alpha^2-\alpha = \alpha+1-\alpha = 1 \, \, \longrightarrow o(\alpha) = 3</math><math display="block">(-\alpha)^2 = -1-\alpha</math><math display="block">(-\alpha)^3 = (-1-\alpha)*(-\alpha) = \alpha+\alpha^2 = -1</math><math display="block">(-1)^2 = 1  \, \, \longrightarrow o(\alpha)=2*3 = 6</math><math display="block">(\alpha+1)^2 = \alpha^2+2\alpha+1 = \alpha</math><math display="block">\alpha^3 = 1, \, \, \longrightarrow \, , o(\alpha) = 6</math>Quindi in particolare, le radici primitive seste sono <math>-\alpha, \alpha+1</math>.
Concludo che le radici seste dell'unità sono
 
<math display="block">\{ 1, \, -1, \,\alpha, -\alpha, \, \alpha+1, \, -\alpha-1 \}</math>
 
 
 
Si ha che <math>\varphi(6) =2</math>, quindi ci sono due radici primitive seste. Osservo che
 
<math display="block">\alpha^2 = -\alpha-1</math>
 
<math display="block">\alpha^3 = \alpha*(-\alpha-1) = -\alpha^2-\alpha = \alpha+1-\alpha = 1 \, \, \longrightarrow o(\alpha) = 3</math><math display="block">(-\alpha)^2 = -1-\alpha</math>
 
<math display="block">(-\alpha)^3 = (-1-\alpha)*(-\alpha) = \alpha+\alpha^2 = -1</math>
 
<math display="block">(-1)^2 = 1  \, \, \longrightarrow o(\alpha)=2*3 = 6</math><math display="block">(\alpha+1)^2 = \alpha^2+2\alpha+1 = \alpha</math>
 
<math display="block">\alpha^3 = 1, \, \, \longrightarrow \, , o(\alpha) = 6</math>
 
Quindi in particolare, le radici primitive seste sono <math>-\alpha, \alpha+1</math>.
 

Versione delle 10:26, 23 set 2017

Esercizio 7.6

Determinare le radici seste dell'unità su .

 

Trovare le radici seste dell'unità in equivale a trovare il campo di spezzamento del polinomio su .

Osservo che gli elementi e in sono radici seste dell'unità, in particolare e , e si ha

Pongo e .

Considero con radice di , cioè .

Verifico se contiene radici di , cioè, preso un elemento , verifico se soddisfa l'equazione .
e siccome ,
e quest'equazione è soddisfatta se
Osservo che , è una soluzione, quindi è radice di . Allora è campo di spezzamento per .

Determino l'altra radice di eseguendo la divisione:

quindi , cioè l'altra radice di è .

Analogamente si verifica che l'altra radice di è .

Procedimento alternativo: si possono trovare le radici dei due polinomi con la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.

Concludo che le radici seste dell'unità sono

Si ha che , quindi ci sono due radici primitive seste. Osservo che
Quindi in particolare, le radici primitive seste sono .

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