Sedicesimo esercizio

(Pywikibot v.2)
 
m (Pywikibot v.2)
 
Riga 1: Riga 1:
{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.16|anchor=Esercizio7_16}}
+
{{InizioEsercizio|title=|number=7.16|anchor=Esercizio7_16}}
 
Trovare un polinomio esplicito <math>f(x) \in \mathbb Q[x]</math> il cui gruppo di Galois abbia ordine <math>3</math>.
 
Trovare un polinomio esplicito <math>f(x) \in \mathbb Q[x]</math> il cui gruppo di Galois abbia ordine <math>3</math>.
  

Versione attuale delle 14:33, 21 mag 2018

Esercizio 7.16

Trovare un polinomio esplicito il cui gruppo di Galois abbia ordine .


Suggerimento: Considerare con radice settima primitiva di 1.

 

Data radice settima primitiva dell'unità, , e è un gruppo ciclico di ordine . Siccome il teorema di Lagrange si inverte nei gruppi ciclici, esiste un sottogruppo con , cioè . Se ad esempio prendo tale che , si ha che perché in (infatti ).


Calcolo il corrispondente campo intermedio:

Siccome il polinomio minimo di è che ha grado , segue che e

Applico ad un generico elemento di :
e riducendo i coefficienti modulo :
e siccome è radice del polinomio ciclotomico, si ha che , quindi
e imponendo ottengo
quindi gli elementi di sono della forma:
Osservo che
e sostituendo l'espressione di :
è radice di . Se pongo , segue che è normale perché è normale in . Se ammette una radice in , allora si spezza in fattori lineari su . Inoltre quindi è campo di spezzamento di su . Infine , e quindi è il polinomio cercato.

 PrecedenteSuccessivo