Secondo esercizio

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Determinare il gruppo di Galois su <math>\mathbb Q</math> del campo di spezzamento <math>M</math> del polinomio <math>f(x) = x^3-2</math>.
 
Determinare il gruppo di Galois su <math>\mathbb Q</math> del campo di spezzamento <math>M</math> del polinomio <math>f(x) = x^3-2</math>.
 
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Pongo <math>\alpha=\sqrt[3]{2}</math>, e <math>\omega = \cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3)</math>, allora le radici di <math>f(x)</math> sono <math>\alpha</math>, <math>\alpha \omega</math>, <math>\alpha \omega^2</math>.
 
Pongo <math>\alpha=\sqrt[3]{2}</math>, e <math>\omega = \cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3)</math>, allora le radici di <math>f(x)</math> sono <math>\alpha</math>, <math>\alpha \omega</math>, <math>\alpha \omega^2</math>.
  
 
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<math>f(x)</math> è separabile. Definisco il campo<math display="block">K_1 = \mathbb Q(\alpha) = \{ a+b\alpha+c \alpha^2, \, a,b,c \in \mathbb Q \}</math><math>K_1</math> non contiene <math>\omega</math>, quindi per trovare <math>M</math> devo estenderlo ulteriormente.  Per calcoli precedenti si ha che il polinomio minimo di <math>\omega</math> è <math>\phi_3(x) = x^2+x+1</math>. Definisco quindi<math display="block">K_2 = K_1(\omega) = \mathbb Q(\alpha,\omega) = \{\xi_0+\xi_1 \omega, \, \xi_0,\xi_1 \in K_1 \}</math><math display="block">= \{ (a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2)+(a_3+a_4 \alpha+a_5 \alpha^2) \omega, \, a_i \in \mathbb Q \forall i \}</math><math display="block">= \{a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \omega+a_4 \alpha \omega+a_5 \alpha^2 \omega, \, a_i \in \mathbb Q \forall i\}</math>e <math>K_2 = M</math>.
<math>f(x)</math> è separabile. Definisco il campo
 
<math display="block">K_1 = \mathbb Q(\alpha) = \{ a+b\alpha+c \alpha^2, \, a,b,c \in \mathbb Q \}</math><math>K_1</math> non contiene <math>\omega</math>, quindi per trovare <math>M</math> devo estenderlo ulteriormente.  Per calcoli precedenti si ha che il polinomio minimo di <math>\omega</math> è <math>\phi_3(x) = x^2+x+1</math>. Definisco quindi
 
<math display="block">K_2 = K_1(\omega) = \mathbb Q(\alpha,\omega) = \{\xi_0+\xi_1 \omega, \, \xi_0,\xi_1 \in K_1 \}</math><math display="block">= \{ (a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2)+(a_3+a_4 \alpha+a_5 \alpha^2) \omega, \, a_i \in \mathbb Q \forall i \}</math><math display="block">= \{a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \omega+a_4 \alpha \omega+a_5 \alpha^2 \omega, \, a_i \in \mathbb Q \forall i\}</math>
 
e <math>K_2 = M</math>.
 
 
 
  
 
Per il teorema della torre:
 
Per il teorema della torre:
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==Gruppo di Galois==
 
==Gruppo di Galois==
In caratteristica zero un polinomio irriducubile e' separabile dunque l'estensione <math>M\supseteq \mathbb Q</math>e' normale. Allora sappiamo che
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In caratteristica zero un polinomio irriducubile e' separabile dunque l'estensione <math>M\supseteq \mathbb Q</math>e' normale. Allora sappiamo che<math display="block">o(\mathcal G(M/\mathbb Q)) =|M:\mathbb Q|= 6</math>e <math>G</math> è isomorfo a un sottogruppo di <math>S_3</math>, perché permuta le tre radici di <math>f(x)</math>. Siccome <math>o(S_3)=6</math>, allora <math>G=S_3</math>.
<math display="block">o(\mathcal G(M/\mathbb Q)) =|M:\mathbb Q|= 6</math>
 
e <math>G</math> è isomorfo a un sottogruppo di <math>S_3</math>, perché permuta le tre radici di <math>f(x)</math>. Siccome <math>o(S_3)=6</math>, allora <math>G=S_3</math>.
 
  
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Siano <math>x,y \in G</math> definiti da
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<math display="block">x:\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha\omega \\\alpha \omega \mapsto \alpha \omega^2 \\\alpha \omega^2 \mapsto \alpha\end{cases}y:\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha \\\alpha \omega \mapsto \alpha \omega^2 \\\alpha \omega^2 \mapsto \alpha \omega\end{cases}</math>(se indentifico <math>\alpha</math> con <math>1</math>, <math>\alpha\omega</math> con <math>2</math> e <math>\alpha \omega^2</math> con <math>3</math>, ho che <math>x</math> corrisponde al <math>3</math>-ciclo <math>(1,2,3)</math> di <math>S_{3}</math> e <math>y</math> allo scambio <math>(2,3)</math> in <math>S_{3}</math>).
  
Siano <math>x,y \in G</math> definiti da
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Allora gli elementi di <math>G</math> si possono elencare nel seguente modo:<math display="block">G = \{ 1, x, x^2, y, yx, yx^2\}</math>(dove <math>x^2</math> corrisponde a <math>(1,2,3)^2=(1,3,2)</math>, <math>yx</math> corrisponde a <math>(1,2)</math> e <math>yx^2</math> corrisponde a
<math display="block">x:\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha\omega \\\alpha \omega \mapsto \alpha \omega^2 \\\alpha \omega^2 \mapsto \alpha\end{cases}y:\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha \\\alpha \omega \mapsto \alpha \omega^2 \\\alpha \omega^2 \mapsto \alpha \omega\end{cases}</math>
 
(se indentifico <math>\alpha</math> con <math>1</math>, <math>\alpha\omega</math> con <math>2</math> e <math>\alpha \omega^2</math> con <math>3</math>, ho che <math>x</math> corrisponde al <math>3</math>-ciclo <math>(1,2,3)</math> di <math>S_{3}</math> e <math>y</math> allo scambio <math>(2,3)</math> in <math>S_{3}</math>).
 
Allora gli elementi di <math>G</math> si possono elencare nel seguente modo:
 
<math display="block">G = \{ 1, x, x^2, y, yx, yx^2\}</math>
 
(dove <math>x^2</math> corrisponde a <math>(1,2,3)^2=(1,3,2)</math>, <math>yx</math> corrisponde a <math>(1,2)</math> e <math>yx^2</math> corrisponde a
 
 
<math>(1,3)</math>).
 
<math>(1,3)</math>).
  
 
==Corrispondenza di Galois==
 
==Corrispondenza di Galois==
SOTTOGRUPPI:
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SOTTOGRUPPI:<math display="block">H_1 = \{ 1, \, x \, x^2 \} \; \textrm{sottogruppo normale in $G$}</math><math display="block">H_2 = \{ 1, \, y\} \; \textrm{sottogruppo non normale in $G$}</math><math display="block">H_3 = \{ 1, \, yx \}\; \textrm{sottogruppo non normale in $G$}</math><math display="block">H_4 = \{ 1, \, yx^2 \}\; \textrm{sottogruppo non normale in $G$}</math>Campi intermedi
<math display="block">H_1 = \{ 1, \, x \, x^2 \} \; \textrm{sottogruppo normale in $G$}</math>
 
<math display="block">H_2 = \{ 1, \, y\} \; \textrm{sottogruppo non normale in $G$}</math>
 
<math display="block">H_3 = \{ 1, \, yx \}\; \textrm{sottogruppo non normale in $G$}</math>
 
<math display="block">H_4 = \{ 1, \, yx^2 \}\; \textrm{sottogruppo non normale in $G$}</math>
 
  
==Campi intermedi==
 
 
#<math>H_1=\{1,x,x^2\}</math>: per definizione <math>H_1' = \rm{Fix} (H_1)</math>.Cerco gli elementi <math>\xi</math> di <math>M</math> tali che <math>\xi^x = \xi</math>.''Osservazione'': <math>x</math> fissa <math>\omega</math>, infatti <math>\omega = \alpha^{-1} \alpha \omega</math>, e applicando <math>x</math> a entrambi i membri:<math display="block">\omega^x = (\alpha^{-1})^x (\alpha \omega)^x = (\alpha^x)^{-1} (\alpha \omega)^x = (\alpha \omega)^{-1} \alpha \omega^2 = \alpha^{-1} \omega^{-1} \alpha \omega^2 = \omega</math>(mia nota: l'uguaglianza <math>(\alpha^{-1})^x = (\alpha^x)^{-1}</math> è vera perché <math>1 = \alpha \alpha^{-1}</math> e applicando <math>x</math> a entambi i membri, <math>1 = \alpha^x (\alpha^{-1})^x</math>, quindi l'inverso di <math>\alpha^x</math> è <math>(\alpha^{-1})^x</math>).Un elemento in <math>M</math> è dato da<math display="block">\xi = a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \omega+a_4 \alpha \omega+a_5 \alpha^2 \omega</math><math display="block">\longrightarrow \xi^x = a_0+a_1 \alpha \omega+a_2 \alpha^2 \omega^2+a_3 \omega+a_4 \alpha \omega^2+a_5 \alpha^2 \omega^3</math>e tenendo conto che <math>\omega^2 = -1-\omega</math> e che <math>\omega^3 = 1</math>:<math display="block">= a_0+a_1 \alpha \omega+a_2 \alpha^2 (-1-\omega) +a_3 \omega+a_4 \alpha(-1-\omega)+a_5 \alpha^2</math><math display="block">=a_0+(a_1-a_4) \alpha \omega-a_4 \alpha+(a_5-a_2)\alpha^2+a_3 \omega+(a_1-a_4) \alpha \omega+(-a_2) \alpha^2 \omega</math>Eguagliando i coefficienti di <math>\xi</math> e di <math>\xi^x</math> ottengo<math display="block">\begin{cases}a_1 = -a_4 \\ a_2 = a_5-a_2 \\ a_4 = a_1-a_4 \\ a_5 = -a_2 \end{cases}</math>da cui segue<math display="block">a_1=a_2=a_4=a_5=0</math>e quindi<math display="block">H_1' = \{a_0+a_3 \omega, \, a_0,a_3 \in \mathbb Q  \} = \mathbb Q(\omega)</math>Come prima<math display="block">|H_1':\mathbb Q| = |G:H_1|  = 2</math>''Procedimento alternativo'': dal fatto che <math>x</math> fissa <math>\omega</math> segue automaticamente che <math>\rm{Fix} (H_1) \supseteq \mathbb Q(\omega)</math>, e vale l'uguaglianza per il teorema fondamentale della teoria di Galois.Infatti <math>|H_1':\mathbb Q|=2</math> per il Teorema e si vede facilmente che <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|=2</math>.<math>H_1</math> è normale in <math>G</math>, allora <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math> è normale (e questo si deduce anche dal fatto che <math>\mathbb Q(\omega)</math> è il campo di spezzamento di <math>x^2+x+1</math> su <math>\mathbb Q</math>).
 
#<math>H_1=\{1,x,x^2\}</math>: per definizione <math>H_1' = \rm{Fix} (H_1)</math>.Cerco gli elementi <math>\xi</math> di <math>M</math> tali che <math>\xi^x = \xi</math>.''Osservazione'': <math>x</math> fissa <math>\omega</math>, infatti <math>\omega = \alpha^{-1} \alpha \omega</math>, e applicando <math>x</math> a entrambi i membri:<math display="block">\omega^x = (\alpha^{-1})^x (\alpha \omega)^x = (\alpha^x)^{-1} (\alpha \omega)^x = (\alpha \omega)^{-1} \alpha \omega^2 = \alpha^{-1} \omega^{-1} \alpha \omega^2 = \omega</math>(mia nota: l'uguaglianza <math>(\alpha^{-1})^x = (\alpha^x)^{-1}</math> è vera perché <math>1 = \alpha \alpha^{-1}</math> e applicando <math>x</math> a entambi i membri, <math>1 = \alpha^x (\alpha^{-1})^x</math>, quindi l'inverso di <math>\alpha^x</math> è <math>(\alpha^{-1})^x</math>).Un elemento in <math>M</math> è dato da<math display="block">\xi = a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \omega+a_4 \alpha \omega+a_5 \alpha^2 \omega</math><math display="block">\longrightarrow \xi^x = a_0+a_1 \alpha \omega+a_2 \alpha^2 \omega^2+a_3 \omega+a_4 \alpha \omega^2+a_5 \alpha^2 \omega^3</math>e tenendo conto che <math>\omega^2 = -1-\omega</math> e che <math>\omega^3 = 1</math>:<math display="block">= a_0+a_1 \alpha \omega+a_2 \alpha^2 (-1-\omega) +a_3 \omega+a_4 \alpha(-1-\omega)+a_5 \alpha^2</math><math display="block">=a_0+(a_1-a_4) \alpha \omega-a_4 \alpha+(a_5-a_2)\alpha^2+a_3 \omega+(a_1-a_4) \alpha \omega+(-a_2) \alpha^2 \omega</math>Eguagliando i coefficienti di <math>\xi</math> e di <math>\xi^x</math> ottengo<math display="block">\begin{cases}a_1 = -a_4 \\ a_2 = a_5-a_2 \\ a_4 = a_1-a_4 \\ a_5 = -a_2 \end{cases}</math>da cui segue<math display="block">a_1=a_2=a_4=a_5=0</math>e quindi<math display="block">H_1' = \{a_0+a_3 \omega, \, a_0,a_3 \in \mathbb Q  \} = \mathbb Q(\omega)</math>Come prima<math display="block">|H_1':\mathbb Q| = |G:H_1|  = 2</math>''Procedimento alternativo'': dal fatto che <math>x</math> fissa <math>\omega</math> segue automaticamente che <math>\rm{Fix} (H_1) \supseteq \mathbb Q(\omega)</math>, e vale l'uguaglianza per il teorema fondamentale della teoria di Galois.Infatti <math>|H_1':\mathbb Q|=2</math> per il Teorema e si vede facilmente che <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|=2</math>.<math>H_1</math> è normale in <math>G</math>, allora <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math> è normale (e questo si deduce anche dal fatto che <math>\mathbb Q(\omega)</math> è il campo di spezzamento di <math>x^2+x+1</math> su <math>\mathbb Q</math>).
 
#<math>H_2=\{1,y\}</math>. <math>H_2' \supseteq \mathbb Q(\alpha)</math> (infatti <math>y</math> fissa <math>\alpha</math>). Per il teorema fondamentale della teoria di Galois<math display="block">3 = |G:H_2| = |H_2':G'| = |H_2':\mathbb Q|</math>(<math>G'=\mathbb Q</math> perché l'estensione è normale)Inoltre, <math>|\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q| =3</math> allora concludo che <math>H_2' = \mathbb Q(\alpha)</math>. <math>H_2'</math> non è un'estensione normale di <math>\mathbb Q</math> (cosa che posso anche dedurre  dal fatto che <math>x^3-2</math> ammette la radice <math>\alpha</math> in <math>\mathbb Q(\alpha)</math> ma non le altre due radici).
 
#<math>H_2=\{1,y\}</math>. <math>H_2' \supseteq \mathbb Q(\alpha)</math> (infatti <math>y</math> fissa <math>\alpha</math>). Per il teorema fondamentale della teoria di Galois<math display="block">3 = |G:H_2| = |H_2':G'| = |H_2':\mathbb Q|</math>(<math>G'=\mathbb Q</math> perché l'estensione è normale)Inoltre, <math>|\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q| =3</math> allora concludo che <math>H_2' = \mathbb Q(\alpha)</math>. <math>H_2'</math> non è un'estensione normale di <math>\mathbb Q</math> (cosa che posso anche dedurre  dal fatto che <math>x^3-2</math> ammette la radice <math>\alpha</math> in <math>\mathbb Q(\alpha)</math> ma non le altre due radici).
 
#<math>H_3=\{1,yx\}</math>. Svolgendo il prodotto (che e' la composizione di mappe da sinistra a destra per le notazioni che usiamo), osservo che<math display="block">yx:\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha\omega \\\alpha \omega \mapsto \alpha  \\\alpha \omega^2 \mapsto \alpha \omega^2\end{cases}</math>quindi <math>yx</math> fissa <math>\alpha \omega^2</math> e per un ragionamento analogo al precedente, <math>H_3' =\mathbb Q(\alpha \omega^2)</math>.
 
#<math>H_3=\{1,yx\}</math>. Svolgendo il prodotto (che e' la composizione di mappe da sinistra a destra per le notazioni che usiamo), osservo che<math display="block">yx:\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha\omega \\\alpha \omega \mapsto \alpha  \\\alpha \omega^2 \mapsto \alpha \omega^2\end{cases}</math>quindi <math>yx</math> fissa <math>\alpha \omega^2</math> e per un ragionamento analogo al precedente, <math>H_3' =\mathbb Q(\alpha \omega^2)</math>.
 
#<math>H_4=\{1,yx^2\}</math> e<math display="block">yx^2:\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha\omega^2 \\\alpha \omega \mapsto \alpha \omega \\\alpha \omega^2 \mapsto \alpha\end{cases}</math>quindi <math>yx^2</math> fissa <math>\alpha \omega</math> e  <math>H_4' =\mathbb Q(\alpha\omega)</math>.
 
#<math>H_4=\{1,yx^2\}</math> e<math display="block">yx^2:\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha\omega^2 \\\alpha \omega \mapsto \alpha \omega \\\alpha \omega^2 \mapsto \alpha\end{cases}</math>quindi <math>yx^2</math> fissa <math>\alpha \omega</math> e  <math>H_4' =\mathbb Q(\alpha\omega)</math>.

Versione attuale delle 14:27, 21 mag 2018

Esercizio 7.2

Determinare il gruppo di Galois su del campo di spezzamento del polinomio .

 

Campo di spezzamento[modifica | modifica wikitesto]

Pongo , e , allora le radici di sono , , .

è separabile. Definisco il campo

non contiene , quindi per trovare devo estenderlo ulteriormente. Per calcoli precedenti si ha che il polinomio minimo di è . Definisco quindi
e .

Per il teorema della torre:

Gruppo di Galois[modifica | modifica wikitesto]

In caratteristica zero un polinomio irriducubile e' separabile dunque l'estensione e' normale. Allora sappiamo che

e è isomorfo a un sottogruppo di , perché permuta le tre radici di . Siccome , allora .

Siano definiti da

(se indentifico con , con e con , ho che corrisponde al -ciclo di e allo scambio in ).

Allora gli elementi di si possono elencare nel seguente modo:

(dove corrisponde a , corrisponde a e corrisponde a ).

Corrispondenza di Galois[modifica | modifica wikitesto]

SOTTOGRUPPI:

Campi intermedi

  1. : per definizione .Cerco gli elementi di tali che .Osservazione: fissa , infatti , e applicando a entrambi i membri:
    (mia nota: l'uguaglianza è vera perché e applicando a entambi i membri, , quindi l'inverso di è ).Un elemento in è dato da
    e tenendo conto che e che :
    Eguagliando i coefficienti di e di ottengo
    da cui segue
    e quindi
    Come prima
    Procedimento alternativo: dal fatto che fissa segue automaticamente che , e vale l'uguaglianza per il teorema fondamentale della teoria di Galois.Infatti per il Teorema e si vede facilmente che . è normale in , allora è normale (e questo si deduce anche dal fatto che è il campo di spezzamento di su ).
  2. . (infatti fissa ). Per il teorema fondamentale della teoria di Galois
    ( perché l'estensione è normale)Inoltre, allora concludo che . non è un'estensione normale di (cosa che posso anche dedurre dal fatto che ammette la radice in ma non le altre due radici).
  3. . Svolgendo il prodotto (che e' la composizione di mappe da sinistra a destra per le notazioni che usiamo), osservo che
    quindi fissa e per un ragionamento analogo al precedente, .
  4. e
    quindi fissa e .
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