Quinto esercizio

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Siano <math>p,q</math> primi distinti. Esprimere <math>\phi_{pq}(x)</math> in termini di <math>\phi_p(x)</math>.
 
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Per il primo lemma, siccome gli unici divisori del prodotto <math>pq</math> sono <math>1,p,q,pq</math>, si ha<math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{x^{pq}-1}{\phi_1(x)*\phi_p(x)*\phi_q(x)}</math><math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{x^{pq}-1}{\phi_p(x)*(x^q-1)}</math>Moltiplico e divido per <math>\phi_1(x) = x-1</math>:<math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{(x^{pq}-1)(x-1)}{(x-1)*\phi_p(x)*(x^q-1)}</math><math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{(x^{pq}-1)(x-1)}{(x^p-1)*(x^q-1)}</math><math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{((x^q)^p-1)(x-1)}{(x^p-1)*(x^q-1)}</math><math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{(x^q)^p-1}{x^q-1}*\frac{x-1}{x^p-1}</math><math display="block">= \frac{\phi_p(x^q)}{\phi_p(x)}</math>
 
Per il primo lemma, siccome gli unici divisori del prodotto <math>pq</math> sono <math>1,p,q,pq</math>, si ha<math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{x^{pq}-1}{\phi_1(x)*\phi_p(x)*\phi_q(x)}</math><math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{x^{pq}-1}{\phi_p(x)*(x^q-1)}</math>Moltiplico e divido per <math>\phi_1(x) = x-1</math>:<math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{(x^{pq}-1)(x-1)}{(x-1)*\phi_p(x)*(x^q-1)}</math><math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{(x^{pq}-1)(x-1)}{(x^p-1)*(x^q-1)}</math><math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{((x^q)^p-1)(x-1)}{(x^p-1)*(x^q-1)}</math><math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{(x^q)^p-1}{x^q-1}*\frac{x-1}{x^p-1}</math><math display="block">= \frac{\phi_p(x^q)}{\phi_p(x)}</math>

Versione attuale delle 15:05, 21 mag 2018

Esercizio 7.5

Siano primi distinti. Esprimere in termini di .

 

Per il primo lemma, siccome gli unici divisori del prodotto sono , si ha

Moltiplico e divido per :

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