Quindicesimo esercizio

Esercizio 7.15

Nelle ipotesi degli esercizi 2 e 3, mostrare che .


Suggerimento: mostrare che l'orbita di sotto l'azione di contiene almeno elementi distinti.

 


Cerco elementi distinti dell'orbita di sotto l'azione di , dove pongo . Osservo che

e quindi le immagini di mediante i sono elementi distinti dell'orbita. Poi, se considero prodotti della forma , si ha che
e ottengo elementi distinti dell'orbita.


Considero allora tutti i possibili prodotti di elementi distinti di , che sono ; applicandoli a ottengo elementi nell'orbita di , della forma

Mostro che gli elementi ottenuti sono tutti distinti: Considero due prodotti di elementi di , devo mostrare che . Sia e ; Se supponiamo per assurdo che segue che

ma allora, siccome i sono indipendenti, segue che , e quindi .


Mostrare che l'estensione è semplice equivale a mostrare che . Sappiamo che e abbiamo appena mostrato che , però siccome vale l'inclusione , si deve avere , cioè .

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