Quattordicesimo esercizio

Esercizio 7.14

Nelle ipotesi dell'esercizio 2, mostrare che per ogni indice , esiste tale che , mentre per . Usare questo fatto per mostrare che sono indipendenti su .

 


Dato , esso è determinato dalla sua azione sulle radici; abbiamo mostrato nell'esercizio precedente che in ci sono esattamente elementi, quindi deve necessariamente includere i morfismi tali che e .


Mostriamo ora la lineare indipendenza dei : Supponiamo di avere una combinazione lineare della forma

Applicando a entrambi i membri ottengo
e siccome i stanno in e vengono fissati si ha
ed eguagliando i coefficienti rispetto agli elementi della base nelle due combinazioni lineari ottengo , cioè . Ripetendo questo procedimento per ogni ottengo che tutti gli scalari sono nulli.

 PrecedenteSuccessivo