Quarto esercizio

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Calcolare <math>\phi_n(x)</math> per <math>n=1\dots,20</math>.
 
Calcolare <math>\phi_n(x)</math> per <math>n=1\dots,20</math>.
 
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Per calcoli precedenti sappiamo che
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Per calcoli precedenti sappiamo che<math display="block">\phi_1(x) = x-1</math><math display="block">\phi_2(x) = x+1</math><math display="block">\phi_4(x) = x^2+1</math><math display="block">\phi_6(x) = x^2-x+1</math><math display="block">\phi_8(x)=x^4+1</math>Inoltre, ricordiamo che in generale, per <math>p</math> primo<math display="block">\phi_p(x) = \frac{x^p-1}{x-1} = x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1</math>quindi conosciamo anche <math>\phi_3(x), \, \phi_5(x), \, \phi_7(x), \, \phi_{11}(x), \, \phi_{13}(x), \, \phi_{17}(x), \, \phi_{19}(x)</math>.
<math display="block">\phi_1(x) = x-1</math>
 
<math display="block">\phi_2(x) = x+1</math>
 
<math display="block">\phi_4(x) = x^2+1</math>
 
<math display="block">\phi_6(x) = x^2-x+1</math>
 
<math display="block">\phi_8(x)=x^4+1</math>
 
Inoltre, ricordiamo che in generale, per <math>p</math> primo
 
<math display="block">\phi_p(x) = \frac{x^p-1}{x-1} = x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1</math>
 
quindi conosciamo anche <math>\phi_3(x), \, \phi_5(x), \, \phi_7(x), \, \phi_{11}(x), \, \phi_{13}(x), \, \phi_{17}(x), \, \phi_{19}(x)</math>.
 
 
 
  
 
Calcoliamo i polinomi rimanenti:
 
Calcoliamo i polinomi rimanenti:

Versione attuale delle 14:06, 21 mag 2018

Esercizio 7.4

Calcolare per .

 

Per calcoli precedenti sappiamo che

Inoltre, ricordiamo che in generale, per primo
quindi conosciamo anche .

Calcoliamo i polinomi rimanenti:

  1. e , quindi
    Aggiungendo e togliendo al numeratore:
  2. Eseguo la divisione:
    Complessivamente,
    quindi
  3. Eseguo la divisione
    Quindi
  4. e questa divisione è simile a quella per il calcolo di , quindi
  5. e , mentre , quindi
    Eseguo la divisione:
    quindi
    Ora eseguo la divisione:
    Quindi
  6. Il termine tra parentesi quadra è , e uso l'espressione di :
  7. Eseguo la divisione:
    quindi
  8. e , e , allora
    (il risultato si ottiene facendo la sostituzione , infatti abbiamo già eseguito la divisione )
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