Primo esercizio

Esercizio 7.1

Determinare il gruppo di Galois su del campo di spezzamento del polinomio .

 

Campo di spezzamento

Prima cerco il campo di spezzamento : la fattorizzazione di in irriducibili in è

Osservo che , e definisco il campo di spezzamento di questo polinomio:

quindi il polinomio non ammette radici in , e si ha .


Per trovare il campo di spezzamento di estendo e considero:

e sostituendo le espressioni di e :
Applicando il teorema della torre segue che

Ordine ed elementi del gruppo di Galois

Siccome ha caratteristica 0 ogni polinomio irriducibile è separabile (infatti un polinomio irriducibile ha una radice multipla solo se , e questo in caratteristica 0 non può avvenire); dalla caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito segue quindi che è normale, e .


è isomorfo a un sottogruppo di perché gli elementi di permutano le radici del polinomio di partenza che sono quattro. Detti e , sappiamo che agisce transitivamente sia su che su . Quindi, gli elementi di si possono elencare in questo modo: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{align}'): {\displaystyle \begin{align}g_1 & t.c. & & \textrm{identità} \\g_2 & t.c. & \sqrt{5}^{g_2} = -\sqrt{5}, & (i\sqrt{2})^{g_2} = i\sqrt{2} \\g_3 & t.c. & \sqrt{5}^{g_3} = \sqrt{5}, & (i\sqrt{2})^{g_3} = -i\sqrt{2} \\g_4 & t.c. & \sqrt{5}^{g_4} = -\sqrt{5}, & (i\sqrt{2})^{g_4} = i\sqrt{2}\end{align}} Posso anche riscrivere gli elementi sopra in questo modo


Osservo che il gruppo non è ciclico, infatti ogni elemento elevato al quadrato è uguale all'identità e ha quindi ordine 2. A meno di isomorfismo esistono solo due gruppi di ordine che sono e (il gruppo di Klein). Nota: con indichiamo il gruppo ciclico di ordine e, se usiamo la notazione moltiplicativa per i gruppi, consideriamo il prodotto diretto . Se invece usiamo la notazione additiva per i gruppi, consideriamo la somma diretta (ma e' la stessa costruzione, cambia solo la notazione). Siccome non e' ciclico deduciamo che è il Klein. Posso elencare i suoi elementi nella forma

dove , , .

Corrispondenza di Galois

I sottogruppi di sono:

Determino i campi intermedi:

  1. , e siccome fissa , .Inoltre per il teorema fondamentale della teoria di Galois
    e siccome , anche . Poiche' concludo che deve essere .
  2. Per un ragionamento analogo si ha che .
  3. Ora determiniamo
    Determino gli elementi che vengono fissati da e quindi da : un generico elemento in è della forma
    e considerando come agisce si ha:
    e imponendo ottengo il sistema
    cioè mentre sono liberi, quindi

Diagrammi dei sottogruppi e dei campi intermedi

(per comodità lo scrivo solo a parole)


SOTTOGRUPPI:


Primo livello:

Secondo livello: , ,

Terzo livello:

CAMPI INTERMEDI:


Primo livello:

Secondo livello: , ,

Terzo livello:

Osserviamo anche che e' abeliano dunque ogni suo sottogruppo e' normale. Segue dal Teorema Fondamentale della Teoria di Galois che le estensioni , e sono normali (cosa che si verifica facilmente anche in maniera diretta peraltro).

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