Primo esercizio

(Pywikibot v.2)
 
m (Pywikibot v.2)
 
(Una versione intermedia di un altro utente non mostrate)
Riga 1: Riga 1:
{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.1|anchor=Esercizio7_1}}
+
{{InizioEsercizio|title=|number=7.1|anchor=Esercizio7_1}}
 
Determinare il gruppo di Galois su <math>\mathbb Q</math> del campo di spezzamento <math>M</math> del polinomio <math>f(x) = x^4-3x^2-10</math>.
 
Determinare il gruppo di Galois su <math>\mathbb Q</math> del campo di spezzamento <math>M</math> del polinomio <math>f(x) = x^4-3x^2-10</math>.
 
{{FineEsercizio}}
 
{{FineEsercizio}}
  
 
==Campo di spezzamento==
 
==Campo di spezzamento==
Prima cerco il campo di spezzamento <math>M</math>:  la fattorizzazione di <math>f(x)</math> in irriducibili in <math>\mathbb Q[x]</math> è
+
Prima cerco il campo di spezzamento <math>M</math>:  la fattorizzazione di <math>f(x)</math> in irriducibili in <math>\mathbb Q[x]</math> è<math display="block">f(x) = (x^2-5)(x^2+2)</math>Osservo che <math>x^2-5=(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})</math>, e definisco il campo di spezzamento di questo polinomio:<math display="block">K = \mathbb Q(\sqrt{5}) = \frac{\mathbb Q[x]}{(x^2-5)} = \{a+b\sqrt{5}, \, a,b \in \mathbb Q \}</math><math>K \subset \mathbb R</math> quindi il polinomio <math>x^2+2</math> non ammette radici in <math>K</math>, e si ha <math>x^2+2 = (x-i \sqrt{2})(x+i\sqrt{2})</math>.
<math display="block">f(x) = (x^2-5)(x^2+2)</math>
 
 
 
Osservo che <math>x^2-5=(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})</math>, e definisco il campo di spezzamento di questo polinomio:
 
<math display="block">K = \mathbb Q(\sqrt{5}) = \frac{\mathbb Q[x]}{(x^2-5)} = \{a+b\sqrt{5}, \, a,b \in \mathbb Q \}</math><math>K \subset \mathbb R</math> quindi il polinomio <math>x^2+2</math> non ammette radici in <math>K</math>, e si ha <math>x^2+2 = (x-i \sqrt{2})(x+i\sqrt{2})</math>.
 
 
 
  
 
Per trovare il campo di spezzamento di <math>f(x)</math> estendo <math>K</math> e considero:
 
Per trovare il campo di spezzamento di <math>f(x)</math> estendo <math>K</math> e considero:
<math display="block">M = K(i\sqrt{2}) = \mathbb Q(\sqrt{5},i\sqrt{2}) = \{ \xi_0+\xi_1 i \sqrt{2}, \, \xi_0,\xi_1 \in K\}</math>
+
<math display="block">M = K(i\sqrt{2}) = \mathbb Q(\sqrt{5},i\sqrt{2}) = \{ \xi_0+\xi_1 i \sqrt{2}, \, \xi_0,\xi_1 \in K\}</math>e sostituendo le espressioni di <math>\xi_0</math> e <math>\xi_1</math>:<math display="block">= \{(a_0+a_1 \sqrt{5})+(a_2+a_3\sqrt{5})*i\sqrt{2}, \, a_i \in \mathbb Q,\; \forall i\}</math><math display="block">= \{a_0+a_1 \sqrt{5}+a_2 i \sqrt{2}+a_3 i \sqrt{10}, \, a_i \in \mathbb Q,\; \forall i \}</math>Applicando il teorema della torre segue che<math display="block">|M:\mathbb Q| = |\mathbb Q(\sqrt{5},i\sqrt{2}):\mathbb Q(\sqrt{5})|*|\mathbb Q(\sqrt{5}):\mathbb Q| = 2*2 = 4</math>
e sostituendo le espressioni di <math>\xi_0</math> e <math>\xi_1</math>:
 
<math display="block">= \{(a_0+a_1 \sqrt{5})+(a_2+a_3\sqrt{5})*i\sqrt{2}, \, a_i \in \mathbb Q,\; \forall i\}</math><math display="block">= \{a_0+a_1 \sqrt{5}+a_2 i \sqrt{2}+a_3 i \sqrt{10}, \, a_i \in \mathbb Q,\; \forall i \}</math>
 
Applicando il teorema della torre segue che
 
<math display="block">|M:\mathbb Q| = |\mathbb Q(\sqrt{5},i\sqrt{2}):\mathbb Q(\sqrt{5})|*|\mathbb Q(\sqrt{5}):\mathbb Q| = 2*2 = 4</math>
 
  
 
==Ordine ed elementi del gruppo di Galois==
 
==Ordine ed elementi del gruppo di Galois==
 
Siccome <math>\mathbb Q</math> ha caratteristica 0 ogni polinomio irriducibile è separabile (infatti un polinomio irriducibile <math>f(x)\neq 0</math> ha una radice multipla solo se <math>f'(x)=0</math>, e questo in caratteristica 0 non può avvenire); dalla caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito segue quindi che <math>M \supseteq \mathbb Q</math> è normale, e <math>o(\mathcal G(M/\mathbb Q)) = |M:\mathbb Q|=4</math>.
 
Siccome <math>\mathbb Q</math> ha caratteristica 0 ogni polinomio irriducibile è separabile (infatti un polinomio irriducibile <math>f(x)\neq 0</math> ha una radice multipla solo se <math>f'(x)=0</math>, e questo in caratteristica 0 non può avvenire); dalla caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito segue quindi che <math>M \supseteq \mathbb Q</math> è normale, e <math>o(\mathcal G(M/\mathbb Q)) = |M:\mathbb Q|=4</math>.
 
  
 
<math>G</math> è isomorfo a un sottogruppo di <math>S_4</math>  perché gli elementi di <math>G</math> permutano le radici del polinomio di partenza che sono quattro. Detti <math>\Omega_1 = \{ \pm \sqrt{5} \}</math> e <math>\Omega_2 = \{ \pm i \sqrt{2}\}</math>, sappiamo che <math>G</math> agisce transitivamente sia su <math>\Omega_1</math> che su <math>\Omega_2</math>. Quindi, gli elementi di <math>G</math> si possono elencare in questo modo:
 
<math>G</math> è isomorfo a un sottogruppo di <math>S_4</math>  perché gli elementi di <math>G</math> permutano le radici del polinomio di partenza che sono quattro. Detti <math>\Omega_1 = \{ \pm \sqrt{5} \}</math> e <math>\Omega_2 = \{ \pm i \sqrt{2}\}</math>, sappiamo che <math>G</math> agisce transitivamente sia su <math>\Omega_1</math> che su <math>\Omega_2</math>. Quindi, gli elementi di <math>G</math> si possono elencare in questo modo:
<math display="block">\begin{align}g_1 & t.c. & & \textrm{identità} \\g_2 & t.c. &  \sqrt{5}^{g_2} = -\sqrt{5}, & (i\sqrt{2})^{g_2} = i\sqrt{2} \\g_3 & t.c. &  \sqrt{5}^{g_3} = \sqrt{5}, & (i\sqrt{2})^{g_3} = -i\sqrt{2} \\g_4 & t.c. &  \sqrt{5}^{g_4} = -\sqrt{5}, & (i\sqrt{2})^{g_4} = i\sqrt{2}\end{align}</math>
+
<math display="block">\begin{align}g_1 & t.c. & & \textrm{identita} \\g_2 & t.c. &  \sqrt{5}^{g_2} = -\sqrt{5}, & (i\sqrt{2})^{g_2} = i\sqrt{2} \\g_3 & t.c. &  \sqrt{5}^{g_3} = \sqrt{5}, & (i\sqrt{2})^{g_3} = -i\sqrt{2} \\g_4 & t.c. &  \sqrt{5}^{g_4} = -\sqrt{5}, & (i\sqrt{2})^{g_4} = i\sqrt{2}\end{align}</math>Posso anche riscrivere gli elementi sopra in questo modo<math display="block">g_{1}=1,g_{2}:\begin{cases}\sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5}\\i\sqrt{2}\mapsto i\sqrt{2}\end{cases}g_{3}:\begin{cases}\sqrt{5} \mapsto \sqrt{5}\\i\sqrt{2}\mapsto -i\sqrt{2}\end{cases}g_{4}:\begin{cases}\sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5}\\i\sqrt{2}\mapsto -i\sqrt{2}\end{cases}.</math>Osservo che il gruppo non è ciclico, infatti ogni elemento elevato al quadrato è uguale all'identità e ha quindi ordine 2. A meno di isomorfismo esistono solo due gruppi di ordine <math>4</math> che sono <math>C_{4}</math> e <math>C_{2}\times C_{2}</math> (il gruppo di Klein). Nota: con <math>C_{n}</math> indichiamo il gruppo ciclico di ordine <math>n</math> e, se usiamo la notazione moltiplicativa per i gruppi, consideriamo il prodotto diretto <math>\times</math>. Se invece usiamo la notazione additiva per i gruppi, consideriamo la somma diretta (ma e' la stessa costruzione, cambia solo la notazione).
Posso anche riscrivere gli elementi sopra in questo modo
 
<math display="block">g_{1}=1,g_{2}:\begin{cases}\sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5}\\i\sqrt{2}\mapsto i\sqrt{2}\end{cases}g_{3}:\begin{cases}\sqrt{5} \mapsto \sqrt{5}\\i\sqrt{2}\mapsto -i\sqrt{2}\end{cases}g_{4}:\begin{cases}\sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5}\\i\sqrt{2}\mapsto -i\sqrt{2}\end{cases}.</math>
 
 
 
  
 
Osservo che il gruppo non è ciclico, infatti ogni elemento elevato al quadrato è uguale all'identità e ha quindi ordine 2. A meno di isomorfismo esistono solo due gruppi di ordine <math>4</math> che sono <math>C_{4}</math> e <math>C_{2}\times C_{2}</math> (il gruppo di Klein). Nota: con <math>C_{n}</math> indichiamo il gruppo ciclico di ordine <math>n</math> e, se usiamo la notazione moltiplicativa per i gruppi, consideriamo il prodotto diretto <math>\times</math>. Se invece usiamo la notazione additiva per i gruppi, consideriamo la somma diretta (ma e' la stessa costruzione, cambia solo la notazione).
 
 
Siccome <math>G</math> non e' ciclico deduciamo che  <math>G</math> è
 
Siccome <math>G</math> non e' ciclico deduciamo che  <math>G</math> è
il Klein. Posso elencare i suoi elementi nella forma
+
il Klein. Posso elencare i suoi elementi nella forma<math display="block">G= \{ 1,x,y,xy\}</math>dove <math>x=g_2</math>, <math>y=g_3</math>, <math>xy=g_4</math>.
<math display="block">G= \{ 1,x,y,xy\}</math>
 
dove <math>x=g_2</math>, <math>y=g_3</math>, <math>xy=g_4</math>.
 
  
 
==Corrispondenza di Galois==
 
==Corrispondenza di Galois==
I sottogruppi di <math>G</math> sono:
+
I sottogruppi di <math>G</math> sono:<math display="block">H_1 := \{ 1,x\}, \quad H_2 := \{1,y\}, \quad H_3 := \{1,xy\}</math>Determino i campi intermedi:
<math display="block">H_1 := \{ 1,x\}, \quad H_2 := \{1,y\}, \quad H_3 := \{1,xy\}</math>
 
 
 
Determino i campi intermedi:
 
  
 
#<math>H_1' = \rm{Fix} (H_1) = \rm{Fix} (\{1,x \})</math>, e siccome <math>x</math> fissa <math>i\sqrt{2}</math>, <math>H_1' \supseteq \mathbb Q(i\sqrt{2})</math>.Inoltre per il teorema fondamentale della teoria di Galois<math display="block">|G:H_1| = |H_1':G'| = |H_1':\mathbb Q|</math>e siccome <math>|G:H_1|=2</math>, anche <math>|H_1':\mathbb Q|=2</math>. Poiche'<math>|\mathbb Q(i \sqrt{2}:\mathbb Q|=2</math>  concludo che deve essere <math>H_1' = \mathbb Q(i\sqrt{2})</math>.
 
#<math>H_1' = \rm{Fix} (H_1) = \rm{Fix} (\{1,x \})</math>, e siccome <math>x</math> fissa <math>i\sqrt{2}</math>, <math>H_1' \supseteq \mathbb Q(i\sqrt{2})</math>.Inoltre per il teorema fondamentale della teoria di Galois<math display="block">|G:H_1| = |H_1':G'| = |H_1':\mathbb Q|</math>e siccome <math>|G:H_1|=2</math>, anche <math>|H_1':\mathbb Q|=2</math>. Poiche'<math>|\mathbb Q(i \sqrt{2}:\mathbb Q|=2</math>  concludo che deve essere <math>H_1' = \mathbb Q(i\sqrt{2})</math>.
Riga 47: Riga 27:
 
==Diagrammi dei sottogruppi e dei campi intermedi==
 
==Diagrammi dei sottogruppi e dei campi intermedi==
 
(per comodità lo scrivo solo a parole)
 
(per comodità lo scrivo solo a parole)
 
 
 
SOTTOGRUPPI:
 
SOTTOGRUPPI:
 
 
 
Primo livello: <math>G</math>
 
Primo livello: <math>G</math>
  
Riga 60: Riga 36:
 
CAMPI INTERMEDI:
 
CAMPI INTERMEDI:
  
 
+
Primo livello:<math display="block">\mathbb Q(\sqrt{5},i\sqrt{2})</math>Secondo livello: <math>\mathbb Q(\sqrt{5})</math>, <math>\mathbb Q(i\sqrt{2})</math>, <math>\mathbb Q(i\sqrt{10})</math>  
Primo livello: <math display="block">\mathbb Q(\sqrt{5},i\sqrt{2})</math>
 
 
 
Secondo livello: <math>\mathbb Q(\sqrt{5})</math>, <math>\mathbb Q(i\sqrt{2})</math>, <math>\mathbb Q(i\sqrt{10})</math>
 
  
 
Terzo livello: <math>\mathbb Q</math>
 
Terzo livello: <math>\mathbb Q</math>
  
Osserviamo anche che <math>G</math>e' abeliano dunque ogni suo sottogruppo e' normale. Segue dal Teorema Fondamentale della Teoria di Galois che le estensioni <math>\mathbb Q(\sqrt{5})\supseteq \mathbb Q</math>, <math>\mathbb Q(i\sqrt{2})\supseteq \mathbb Q</math> e <math>\mathbb Q(i\sqrt{10})\supseteq \mathbb Q</math> sono normali (cosa che si verifica facilmente anche in maniera diretta
+
Osserviamo anche che <math>G</math>e' abeliano dunque ogni suo sottogruppo e' normale. Segue dal Teorema Fondamentale della Teoria di Galois che le estensioni <math>\mathbb Q(\sqrt{5})\supseteq \mathbb Q</math>, <math>\mathbb Q(i\sqrt{2})\supseteq \mathbb Q</math> e <math>\mathbb Q(i\sqrt{10})\supseteq \mathbb Q</math> sono normali (cosa che si verifica facilmente anche in maniera diretta peraltro).
peraltro).
 

Versione attuale delle 15:09, 21 mag 2018

Esercizio 7.1

Determinare il gruppo di Galois su del campo di spezzamento del polinomio .

 

Campo di spezzamento[modifica | modifica wikitesto]

Prima cerco il campo di spezzamento : la fattorizzazione di in irriducibili in è

Osservo che , e definisco il campo di spezzamento di questo polinomio:
quindi il polinomio non ammette radici in , e si ha .

Per trovare il campo di spezzamento di estendo e considero:

e sostituendo le espressioni di e :
Applicando il teorema della torre segue che

Ordine ed elementi del gruppo di Galois[modifica | modifica wikitesto]

Siccome ha caratteristica 0 ogni polinomio irriducibile è separabile (infatti un polinomio irriducibile ha una radice multipla solo se , e questo in caratteristica 0 non può avvenire); dalla caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito segue quindi che è normale, e .

è isomorfo a un sottogruppo di perché gli elementi di permutano le radici del polinomio di partenza che sono quattro. Detti e , sappiamo che agisce transitivamente sia su che su . Quindi, gli elementi di si possono elencare in questo modo:

Posso anche riscrivere gli elementi sopra in questo modo
Osservo che il gruppo non è ciclico, infatti ogni elemento elevato al quadrato è uguale all'identità e ha quindi ordine 2. A meno di isomorfismo esistono solo due gruppi di ordine che sono e (il gruppo di Klein). Nota: con indichiamo il gruppo ciclico di ordine e, se usiamo la notazione moltiplicativa per i gruppi, consideriamo il prodotto diretto . Se invece usiamo la notazione additiva per i gruppi, consideriamo la somma diretta (ma e' la stessa costruzione, cambia solo la notazione).

Siccome non e' ciclico deduciamo che è il Klein. Posso elencare i suoi elementi nella forma

dove , , .

Corrispondenza di Galois[modifica | modifica wikitesto]

I sottogruppi di sono:

Determino i campi intermedi:

  1. , e siccome fissa , .Inoltre per il teorema fondamentale della teoria di Galois
    e siccome , anche . Poiche' concludo che deve essere .
  2. Per un ragionamento analogo si ha che .
  3. Ora determiniamo
    Determino gli elementi che vengono fissati da e quindi da : un generico elemento in è della forma
    e considerando come agisce si ha:
    e imponendo ottengo il sistema
    cioè mentre sono liberi, quindi

Diagrammi dei sottogruppi e dei campi intermedi[modifica | modifica wikitesto]

(per comodità lo scrivo solo a parole) SOTTOGRUPPI: Primo livello:

Secondo livello: , ,

Terzo livello:

CAMPI INTERMEDI:

Primo livello:

Secondo livello: , ,

Terzo livello:

Osserviamo anche che e' abeliano dunque ogni suo sottogruppo e' normale. Segue dal Teorema Fondamentale della Teoria di Galois che le estensioni , e sono normali (cosa che si verifica facilmente anche in maniera diretta peraltro).

Successivo