Dodicesimo esercizio

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Sia <math>M</math> il campo di spezzamento di <math>x^4-2</math> su <math>\mathbb Q</math> in <math>\mathbb C</math>. Mostrare che <math>M = \mathbb Q(i+\sqrt[4]{2})</math>.
 
Sia <math>M</math> il campo di spezzamento di <math>x^4-2</math> su <math>\mathbb Q</math> in <math>\mathbb C</math>. Mostrare che <math>M = \mathbb Q(i+\sqrt[4]{2})</math>.
  

Versione attuale delle 14:42, 21 mag 2018

Esercizio 7.12

Sia il campo di spezzamento di su in . Mostrare che .


Suggerimento: trovare almeno cinque elementi distinti nell'orbita di sotto l'azione di .

 

Abbiamo dimostrato precedentemente che, se pongo , e , con

Pongo e cerco almeno cinque elementi distinti dell'orbita di sotto l'azione di :

Ora mostro che . L'inclusione è ovvia perché . Viceversa, proviamo che . Considero il polinomio minimo di sopra . Gli elementi della forma con sono ancora radici di , infatti, applicando all'equazione ottengo . Con i conti precedenti ho trovato almeno cinque radici distinte di , quindi , cioè .


Sappiamo anche che , e quindi , ma allora unendo queste due condizioni l'unica possibilità è che , cioè .

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