Campi intermedi

  1. : per definizione .Cerco gli elementi di tali che .Osservazione: fissa , infatti , e applicando a entrambi i membri:
    (mia nota: l'uguaglianza è vera perché e applicando a entambi i membri, , quindi l'inverso di è ).Un elemento in è dato da
    e tenendo conto che e che :
    Eguagliando i coefficienti di e di ottengo
    da cui segue
    e quindi
    Come prima
    Procedimento alternativo: dal fatto che fissa segue automaticamente che , e vale l'uguaglianza per il teorema fondamentale della teoria di Galois.Infatti per il Teorema e si vede facilmente che . è normale in , allora è normale (e questo si deduce anche dal fatto che è il campo di spezzamento di su ).
  2. . (infatti fissa ). Per il teorema fondamentale della teoria di Galois
    ( perché l'estensione è normale)Inoltre, allora concludo che . non è un'estensione normale di (cosa che posso anche dedurre dal fatto che ammette la radice in ma non le altre due radici).
  3. . Svolgendo il prodotto (che e' la composizione di mappe da sinistra a destra per le notazioni che usiamo), osservo che
    quindi fissa e per un ragionamento analogo al precedente, .
  4. e
    quindi fissa e .



Esercizio 7.3

Determinare il gruppo di Galois sopra del campo di spezzamento del polinomio .

 
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