Campi intermedi

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#<math>H_1=\{1,x,x^2\}</math>: per definizione <math>H_1' = \rm{Fix} (H_1)</math>.Cerco gli elementi <math>\xi</math> di <math>M</math> tali che <math>\xi^x = \xi</math>.''Osservazione'': <math>x</math> fissa <math>\omega</math>, infatti <math>\omega = \alpha^{-1} \alpha \omega</math>, e applicando <math>x</math> a entrambi i membri:<math display="block">\omega^x = (\alpha^{-1})^x (\alpha \omega)^x = (\alpha^x)^{-1} (\alpha \omega)^x = (\alpha \omega)^{-1} \alpha \omega^2 = \alpha^{-1} \omega^{-1} \alpha \omega^2 = \omega</math>(mia nota: l'uguaglianza <math>(\alpha^{-1})^x = (\alpha^x)^{-1}</math> è vera perché <math>1 = \alpha \alpha^{-1}</math> e applicando <math>x</math> a entambi i membri, <math>1 = \alpha^x (\alpha^{-1})^x</math>, quindi l'inverso di <math>\alpha^x</math> è <math>(\alpha^{-1})^x</math>).Un elemento in <math>M</math> è dato da<math display="block">\xi = a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \omega+a_4 \alpha \omega+a_5 \alpha^2 \omega</math><math display="block">\longrightarrow \xi^x = a_0+a_1 \alpha \omega+a_2 \alpha^2 \omega^2+a_3 \omega+a_4 \alpha \omega^2+a_5 \alpha^2 \omega^3</math>e tenendo conto che <math>\omega^2 = -1-\omega</math> e che <math>\omega^3 = 1</math>:<math display="block">= a_0+a_1 \alpha \omega+a_2 \alpha^2 (-1-\omega) +a_3 \omega+a_4 \alpha(-1-\omega)+a_5 \alpha^2</math><math display="block">=a_0+(a_1-a_4) \alpha \omega-a_4 \alpha+(a_5-a_2)\alpha^2+a_3 \omega+(a_1-a_4) \alpha \omega+(-a_2) \alpha^2 \omega</math>Eguagliando i coefficienti di <math>\xi</math> e di <math>\xi^x</math> ottengo<math display="block">\begin{cases}a_1 = -a_4 \\ a_2 = a_5-a_2 \\ a_4 = a_1-a_4 \\ a_5 = -a_2 \end{cases}</math>da cui segue<math display="block">a_1=a_2=a_4=a_5=0</math>e quindi<math display="block">H_1' = \{a_0+a_3 \omega, \, a_0,a_3 \in \mathbb Q  \} = \mathbb Q(\omega)</math>Come prima<math display="block">|H_1':\mathbb Q| = |G:H_1|  = 2</math>''Procedimento alternativo'': dal fatto che <math>x</math> fissa <math>\omega</math> segue automaticamente che <math>\rm{Fix} (H_1) \supseteq \mathbb Q(\omega)</math>, e vale l'uguaglianza per il teorema fondamentale della teoria di Galois.Infatti <math>|H_1':\mathbb Q|=2</math> per il Teorema e si vede facilmente che <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|=2</math>.<math>H_1</math> è normale in <math>G</math>, allora <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math> è normale (e questo si deduce anche dal fatto che <math>\mathbb Q(\omega)</math> è il campo di spezzamento di <math>x^2+x+1</math> su <math>\mathbb Q</math>).
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#<math>H_1 = \{1,x,x^2,x^3\}</math>; <math>H_1' \supseteq \mathbb Q(i)</math>, inoltre <math>|\mathbb Q(i):\mathbb Q|=2</math> e per il teorema fondamentale di Galois<math display="block">2 = |G:H_1| = |H_1':G'|</math>e quindi <math>H_1'=\mathbb Q(i)</math>.
#<math>H_2=\{1,y\}</math>. <math>H_2' \supseteq \mathbb Q(\alpha)</math> (infatti <math>y</math> fissa <math>\alpha</math>). Per il teorema fondamentale della teoria di Galois<math display="block">3 = |G:H_2| = |H_2':G'| = |H_2':\mathbb Q|</math>(<math>G'=\mathbb Q</math> perché l'estensione è normale)Inoltre, <math>|\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q| =3</math> allora concludo che <math>H_2' = \mathbb Q(\alpha)</math>. <math>H_2'</math> non è un'estensione normale di <math>\mathbb Q</math> (cosa che posso anche dedurre  dal fatto che <math>x^3-2</math> ammette la radice <math>\alpha</math> in <math>\mathbb Q(\alpha)</math> ma non le altre due radici).
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#<math>H_2=\{1,x^2,y,x^2y\}</math>; considero <math>\xi \in M</math> e per prima cosa impongo <math>\xi^{x^2} = \xi</math>.<math display="block">\xi = a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \alpha^3+a_4 i+a_5 i \alpha+a_6 i \alpha^2+a_7 i \alpha^3</math>e tenendo conto che <math>i^{x^2}=i</math> e <math>\alpha^{x^2}=-\alpha</math>:<math display="block">\xi^{x^2} = a_0-a_1 \alpha+a_2 \alpha^2-a_3 \alpha^3+a_4 i-a_5 i \alpha+a_6 i \alpha^2-a_7 \alpha^3 i</math>e imponendo l'uguaglianza segue che <math>a_1=a_3=a_5=a_7=0</math>, e quindi gli elementi fissati da <math>x^2</math> sono della forma<math display="block">\xi_1=a_0+a_2 \alpha^2+a_4 i+a_6 \alpha^2 i, \, \, a_i \in \mathbb Q \forall i</math>Ora, impongo che gli elementi trovati vengano fissati anche da <math>y</math>:<math display="block">\xi_1^y = a_0+a_2 \alpha^2-a_4 i -a_6 \alpha^2 i</math>allora, imponendo l'uguaglianza, <math>a_4=a_6=0</math>.<math display="block">H_2'' = \{ a_0+a_2 \alpha^2, \, a_0,a_2 \in \mathbb Q \} = \mathbb Q(\alpha^2) = \mathbb Q(\sqrt{2})</math>
#<math>H_3=\{1,yx\}</math>. Svolgendo il prodotto (che e' la composizione di mappe da sinistra a destra per le notazioni che usiamo), osservo che<math display="block">yx:\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha\omega \\\alpha \omega \mapsto \alpha \\\alpha \omega^2 \mapsto \alpha \omega^2\end{cases}</math>quindi <math>yx</math> fissa <math>\alpha \omega^2</math> e per un ragionamento analogo al precedente, <math>H_3' =\mathbb Q(\alpha \omega^2)</math>.
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#<math>H_3=\{1,x^2,xy,x^3y\}</math>; considero un generico elemento fissato da <math>x^2</math>, della forma<math display="block">\xi_1 = a_0+a_2 \alpha+a_4 i +a_6 i \alpha</math><math display="block">\xi_1^{xy} = a_0-a_2 \alpha^2-a_4 i+a_6 \alpha^2 i</math>Imponendo l'uguaglianza<math display="block">a_2 = a_4 = 0</math>quindi,<math display="block">H_3' = \{ a_0+a_6 \alpha^2 i \} = \mathbb Q(i \sqrt{2})</math>
#<math>H_4=\{1,yx^2\}</math> e<math display="block">yx^2:\begin{cases}\alpha \mapsto \alpha\omega^2 \\\alpha \omega \mapsto \alpha \omega \\\alpha \omega^2 \mapsto \alpha\end{cases}</math>quindi <math>yx^2</math> fissa <math>\alpha \omega</math> e  <math>H_4' =\mathbb Q(\alpha\omega)</math>.
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#<math>H_4 = \{1,y\}</math>; <math>H_4' =\mathbb Q(\alpha)</math>, infatti <math>y</math> fissa <math>\alpha</math>, <math>|\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q|=2</math>, <math>2=|G:H_4| = |H_4':\mathbb Q|</math> quindi <math>H_4'=\mathbb Q(\alpha)'</math>.
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#<math>H_5=\{1,x^2\}</math>; siccome gli elementi fissati da <math>x^2</math> sono già stati calcolati prima, segue che<math display="block">H_5' = \{ a_0+a_2 \alpha^2+a_4 i+a_6 \alpha^2 i, \, a_i \in \mathbb Q \forall i \}</math>e in particolare se pongo <math>a_2=a_6=0</math>, ottengo <math>\mathbb Q(i) \subset H_5'</math>.Anche <math>\alpha^2</math> è fissato da <math>x^2</math>; osservo allora che <math>|\mathbb Q(\alpha^2,i):\mathbb Q| =4</math>, inoltre <math>4=|G:H_5|=|H_5':\mathbb Q|</math> quindi <math>H_5' =\mathbb Q(\alpha^2,i)</math>.
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#<math>H_6 = \{1,xy\}</math>; calcolo gli elementi fissati da <math>xy</math>, tenendo conto che <math>i^{xy} = -i</math>, e <math>\alpha^{xy} = -\alpha i</math>:<math display="block">\xi = a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \alpha^3+a_4 i+a_5 i \alpha+a_6 i \alpha^2+a_7 i \alpha^3</math><math display="block">\longrightarrow \, \xi^{xy} = a_0-a_1 \alpha i-a_2 \alpha^2+a_3 \alpha^3 i-a_4 i-a_5 \alpha+a_6 i \alpha^2+a_7 \alpha^3</math>Imponendo l'uguaglianza<math display="block">\begin{cases}a_1 =-a_5, \\ a_2=0 \\ a_3 = a_7 \\ a_4 = 0 \end{cases}</math>da cui segue che<math display="block">H_6' = \{ a_0+a_1 (\alpha-i \alpha)+a_3 (\alpha^3+i \alpha^3)+a_6 i \alpha^2, \, a_i \in \mathbb Q \}</math>Mostro che <math>H_6'=\mathbb Q(\alpha-i\alpha)</math> infatti, calcolando le potenze di <math>\alpha-i\alpha</math> ottengo:<math display="block">(\alpha-i\alpha)^2 = \alpha^2-2i \alpha^2-\alpha^2 = -2i \alpha^2</math><math display="block">(\alpha-i \alpha)^3 = -2i \alpha^2 (\alpha-i\alpha) = -2i \alpha^3-2\alpha^3 = -2(i\alpha^3+\alpha^3)</math><math display="block">(\alpha-i\alpha)^4 = (-2i \alpha^2)^2 = -4\alpha^4 = -8</math>cioè <math>\alpha-i\alpha</math> ha come polinomio minimo<math>x^4+8</math>. Quindi posso porre <math>\beta = \alpha-i\alpha</math>, e scrivere<math display="block">H_6' = \{ a_0+a_1 \beta+a_6 \beta^2+a_3 \beta^3, \, a_i \in \mathbb Q\} = \mathbb Q(\beta).</math>
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#<math>H_7 = \{1,x^2y\}</math>; tenendo conto che <math>i^{x^2 y}=-i</math> e <math>\alpha^{x^2y}=-\alpha</math>, e preso un generico elemento <math>\xi \in M</math><math display="block">\xi=a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \alpha^3+a_4 i +a_5 i \alpha+a_6 i \alpha^2+a_7 i \alpha^3, \, a_i \in \mathbb Q</math><math display="block">\xi^{xy}= a_0-a_1 \alpha+a_2 \alpha^2-a_3 \alpha^3-a_4 i+a_5 i \alpha-a_6 i \alpha^2+a_7 i \alpha^3</math>Imponendo l'uguaglianza si ha <math>a_1=a_3=a_4=a_6=0</math>, quindi<math display="block">H_7' = \{a_0+a_2 \alpha^2+a_5 i \alpha+a_7 i \alpha^2, \, a_i \in \mathbb Q \}</math>e calcolando le potenze di <math>i \alpha</math>:<math display="block">(i \alpha)^2 = \alpha^2, \, (i\alpha)^3 = -i \alpha^3, \, (i\alpha)^4 = \alpha^2 = 2</math>quindi <math>i\alpha</math> ha come polinomio minimo <math>x^4-2</math>, <math>H_7' = \mathbb Q(i\alpha)</math> e <math>H_7' \supseteq \mathbb Q</math> ha grado 4.
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#<math>H_8 = \{1,x^3y\}</math>; <math>i^{x^3y} = -i</math>, <math>\alpha^{x^3y} = i\alpha</math>. Dato <math>\xi \in M</math> della forma<math display="block">\xi = a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \alpha^3+a_4 i+a_5 i \alpha+a_6 i \alpha^2+a_7 i \alpha^3</math><math display="block">\xi^{x^3 y} = a_0+a_1 \alpha i-a_2 \alpha^2-a_3 i \alpha^3-a_4 i+a_5 \alpha+a_6 i \alpha^2-a_7 \alpha^3</math>e imponendo l'uguaglianza:<math display="block">\begin{cases}a_1 = a_5 \\ a_2 =0 \\ a_3 = -a_7 \\ a_4 =0 \end{cases}</math>quindi<math display="block">H_8' = \{ a_0+a_1 (\alpha+i \alpha)+a_3 (\alpha^3+i \alpha^3)+a_6 i \alpha^2, \, a_i \in \mathbb Q \forall i  \} = \mathbb Q(\alpha+i\alpha)</math>infatti<math display="block">(\alpha+i\alpha)^2 = \alpha^2+2i\alpha^2-\alpha^2 = 2i\alpha^2</math><math display="block">(\alpha+i\alpha)^3 = 2i\alpha^3-2\alpha^3</math><math display="block">(\alpha+i\alpha)^4 = (2i\alpha^2)^2 = -4\alpha^4 = -8</math>cioè <math>\alpha+i\alpha</math> ha polinomio minimo <math>x^4+8</math> e quindi <math>H_8' \supseteq \mathbb Q</math> ha grado 4.
  
  
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{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.3|anchor=Esercizio7_3}}
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{{InizioEsercizio|title=|number=7.4|anchor=Esercizio7_4}}
Determinare il gruppo di Galois sopra <math>\mathbb Q</math> del campo di spezzamento <math>M</math> del polinomio <math>f(x)=x^4-2</math>.
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Calcolare <math>\phi_n(x)</math> per <math>n=1\dots,20</math>.
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{{FineEsercizio}}
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Per calcoli precedenti sappiamo che
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<math display="block">\phi_1(x) = x-1</math>
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<math display="block">\phi_2(x) = x+1</math>
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<math display="block">\phi_4(x) = x^2+1</math>
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<math display="block">\phi_6(x) = x^2-x+1</math>
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<math display="block">\phi_8(x)=x^4+1</math>
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Inoltre, ricordiamo che in generale, per <math>p</math> primo
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<math display="block">\phi_p(x) = \frac{x^p-1}{x-1} = x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1</math>
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quindi conosciamo anche <math>\phi_3(x), \, \phi_5(x), \, \phi_7(x), \, \phi_{11}(x), \, \phi_{13}(x), \, \phi_{17}(x), \, \phi_{19}(x)</math>.
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Calcoliamo i polinomi rimanenti:
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#<math>\phi_9 = \frac{x^9-1}{\phi_1(x)*\phi_3(x)}</math>e <math>\phi_1(x)*\phi_3(x)=x^3-1</math>, quindi<math display="block">\phi_9(x) = \frac{x^9-1}{x^3-1}</math>Aggiungendo e togliendo <math>x^6</math> al numeratore:<math display="block">\phi_9(x) = \frac{x^9-x^6+x^6-1}{x^3-1}</math><math display="block">\phi_9(x) = \frac{x^6(x^3-1)+(x^3+1)(x^3-1)}{x^3-1}</math><math display="block">\phi_9(x) = \frac{(x^6+x^3+1)(x^3-1)}{x^3-1}</math><math display="block">\phi_9(x) = x^6+x^3+1</math>
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#<math>\phi_{10}(x)= \frac{x^{10}-1}{\phi_1(x)*\phi_2(x)*\phi_5(x)}</math><math display="block">= \frac{x^{10}-1}{(x^5-1)  \phi_2(x)}</math><math display="block">= \frac{(x^5-1)(x^5+1)}{(x^5-1)  \phi_2(x)}</math><math display="block">= \frac{x^5+1}{x+1}</math>Eseguo la divisione:<math display="block">\frac{x^5+1}{x+1}=</math><math display="block">q_1=x^4, \, r_1 = x^5+1-x^4(x+1) = -x^4+1</math><math display="block">q_2 = -x^3, \, r_2=-x^4+1+x^3(x+1) = x^3+1</math><math display="block">q_3=x^2, \, r_3=x^3+1-x^2(x+1) = -x^2+1</math><math display="block">q_4 = -x, \, r_4=-x^2+1+x(x+1) = x+1</math><math display="block">q_5=1</math>Complessivamente,<math display="block">x^5+1 = (x+1)*(x^4-x^3+x^2-x+1)</math>quindi<math display="block">\phi_{10}(x) = x^4-x^3+x^2-x+1.</math>
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#<math>\phi_{12}(x) = \frac{x^{12}-1}{\phi_1(x)*\phi_2(x)*\phi_3(x)*\phi_4(x)*\phi_6(x)}</math><math display="block">= \frac{(x^6+1)(x^6-1)}{\phi_4(x)*(x^6-1)}</math><math display="block">= \frac{x^6+1}{x^2+1}</math>Eseguo la divisione<math display="block">\frac{x^6+1}{x^2+1}=</math><math display="block">q_1= x^4, \, r_1 = x^6+1-x^4(x^2+1) = -x^4+1</math><math display="block">q_2 = -x^2, \, r_2 = -x^4+1+x^2(x^2+1) = x^2+1</math><math display="block">q_3 =1, \, r_3=0</math>Quindi<math display="block">x^6+1 = (x^4-x^2+1)*(x^2+1)</math><math display="block">\longrightarrow \, \phi_{12}(x) = x^4-x^2+1</math>
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#<math>\phi_{14} = \frac{x^{14}-1}{\phi_1(x)*\phi_2(x)*\phi_7(x)}</math><math display="block">= \frac{x^7+1}{\phi_2(x)}</math><math display="block">= \frac{x^7+1}{x+1}</math>e questa divisione è simile a quella per il calcolo di <math>\phi_{10}(x)</math>, quindi<math display="block">\phi_{14}(x) = x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1</math>
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#<math>\phi_{15}(x) = \frac{x^{15}-1}{\phi_1(x)*\phi_3(x)*\phi_5(x)}</math>e <math>\phi_1(x)*\phi_5(x) = x^5-1</math>, mentre <math>\phi_3(x) = x^2+x+1</math>, quindi<math display="block">= \frac{x^{15}-1}{(x^2+x+1)(x^5-1)}</math>Eseguo la divisione:<math display="block">\frac{x^{15}-1}{x^5-1}=</math><math display="block">q_1=x^{10}, \, r_1 =x^{15}-1-x^{10}(x^5-1) =x^{10}-1</math><math display="block">q_2 = x^5, \, r_2 = x^{10}-1-x^5(x^5-1) = x^5-1</math><math display="block">q_3=1, \, r_3=0</math>quindi<math display="block">x^{15}-1 = (x^{10}+x^5+1)(x^5-1)</math><math display="block">\longrightarrow \, \phi_{15}(x) = \frac{x^{10}+x^5+1}{x^2+x+1}</math>Ora eseguo la divisione:<math display="block">\frac{x^{10}+x^5+1}{x^2+x+1} =</math><math display="block">q_1=x^8, \, r_1 = x^{10}+x^5+1-x^8(x^2+x+1) = -x^9-x^8+x^5+1</math><math display="block">q_2 = -x^7, \, r_2=-x^9-x^8+x^5+1+x^7(x^2+x+1) = x^7+x^5+1</math><math display="block">q_3 = x^5, \, r_3 = x^7+x^5+1-x^5(x^2+x+1) = -x^6+1</math><math display="block">q_4 = -x^4, \, r_4=-x^6+1+x^4(x^2+x+1) = x^5+x^4+1</math><math display="block">q_5 = x^3, \, r_5 = x^5+x^4+1-x^3(x^2+x+1) = -x^3+1</math><math display="block">q_6 = -x, \, r_6 = -x^3+1+x(x^2+x+1) = x^2+x+1</math><math display="block">q_7=1, \, r_7=0</math>Quindi<math display="block">x^{10}+x^5+1 = (x^2+x+1) (x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)</math><math display="block">\longrightarrow \, \phi_{15}(x) = x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1</math>
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#<math>\phi_{16}(x) = \frac{x^{16}-1}{[\phi_1(x)*\phi_2(x)*\phi_4(x)]*\phi_8(x)}</math>Il termine tra parentesi quadra è <math>x^4-1</math>, e uso l'espressione di <math>\phi_8(x)</math>:<math display="block">= \frac{(x^8+1)(x^4+1)(x^4-1)}{(x^4-1)(x^4+1)}</math><math display="block">= x^8+1</math>
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#<math>\phi_{18}(x) = \frac{(x^9-1)*(x^9+1)}{\phi_1(x)*\phi_2(x)*\phi_3(x)*\phi_6(x)*\phi_9(x)}</math><math display="block">= \frac{(x^9-1)*(x^9+1)}{[\phi_1(x)*\phi_3(x)*\phi_9(x)]*\phi_2(x)*\phi_6(x)}</math><math display="block">= \frac{x^9+1}{(x^2-x+1)(x+1)}</math>Eseguo la divisione:<math display="block">\frac{x^9+1}{x^2-x+1}=</math><math display="block">q_1 = x^7, \, r_1 = x^9+1-x^7(x^2-x+1) = x^8-x^7+1</math><math display="block">q_2 = x^6, \, r_2 = x^8-x^7+1-x^6(x^2-x+1) = -x^6+1</math><math display="block">q_3 = -x^4, \, r_3= -x^6+1+x^4(x^2-x+1) = -x^5+x^4+1</math><math display="block">q_4 = -x^3, \, r_4 = -x^5+x^4+1+x^3(x^2-x+1) = x^3+1</math><math display="block">q_5 = x, \, r_5=x^3+1-x(x^2-x+1) = x^2-x+1</math><math display="block">q_6=1, \, r_6=0</math>quindi<math display="block">x^9+1 = (x^2-x+1)(x^7+x^6-x^4-x^3+x+1)</math><math display="block">\phi_{18}(x) = \frac{x^7+x^6-x^4-x^3+x+1}{x+1}</math><math display="block">\phi_{18}(x) = \frac{x^6(x+1)-x^3(x+1)+x+1}{x+1}</math><math display="block">\phi_{18}(x) = \frac{(x^6-x^3+1)(x+1)}{x+1}</math><math display="block">\phi_{18}(x) =x^6-x^3+1</math>
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#<math>\phi_{20}(x) = \frac{(x^{10}-1)(x^{10}+1)}{\phi_1(x)*\phi_2(x)*\phi_4(x)*\phi_5(x)*\phi_{10}(x)}</math><math display="block">\phi_{20}(x) = \frac{(x^{10}-1)(x^{10}+1)}{\phi_2(x)*\phi_4(x)*\phi_{10}(x)}</math>e <math>\phi_4(x) = x^2+1</math>, e <math>\phi_{10}(x) = \frac{x^5+1}{x+1}</math>, allora<math display="block">= \frac{(x^5+1)(x^{10}+1)}{(x^5+1)/(x+1)*(x+1)*(x^2+1)}</math><math display="block">= \frac{x^{10}+1}{x^2+1}</math><math display="block">= x^8-x^6+x^4-x^2+1</math>(il risultato si ottiene facendo la sostituzione <math>y=x^2</math>, infatti abbiamo già eseguito la divisione <math>\frac{y^5+1}{y+1}</math>)
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<math display="block">***************************************</math>
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{{InizioEsercizio|title=|number=7.5|anchor=Esercizio7_5}}
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Siano <math>p,q</math> primi distinti. Esprimere <math>\phi_{pq}(x)</math> in termini di <math>\phi_p(x)</math>.
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{{FineEsercizio}}
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Per il primo lemma, siccome gli unici divisori del prodotto <math>pq</math> sono <math>1,p,q,pq</math>, si ha
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<math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{x^{pq}-1}{\phi_1(x)*\phi_p(x)*\phi_q(x)}</math><math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{x^{pq}-1}{\phi_p(x)*(x^q-1)}</math>
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Moltiplico e divido per <math>\phi_1(x) = x-1</math>:
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<math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{(x^{pq}-1)(x-1)}{(x-1)*\phi_p(x)*(x^q-1)}</math><math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{(x^{pq}-1)(x-1)}{(x^p-1)*(x^q-1)}</math><math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{((x^q)^p-1)(x-1)}{(x^p-1)*(x^q-1)}</math><math display="block">\phi_{pq}(x) = \frac{(x^q)^p-1}{x^q-1}*\frac{x-1}{x^p-1}</math><math display="block">= \frac{\phi_p(x^q)}{\phi_p(x)}</math>
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<math display="block">***************************************</math>
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{{InizioEsercizio|title=|number=7.6|anchor=Esercizio7_6}}
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Determinare le radici seste dell'unità su <math>F_5</math>.
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{{FineEsercizio}}
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Trovare le radici seste dell'unità in <math>F_5</math> equivale a trovare il campo di spezzamento del polinomio <math>f(x)=x^6-1</math> su <math>F_5</math>.
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Osservo che gli elementi <math>1</math> e <math>4</math> in <math>F_5</math> sono radici seste dell'unità, in particolare <math>x+4 = x-1 \mid f(x)</math> e <math>x+1 \mid f(x)</math>, e si ha
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<math display="block">f(x) = x^6-1 = (x^3+1)(x^3-1) = (x+1)(x^2-x+1) (x-1) (x^2+x+1)</math>
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Pongo <math>g(x)=x^2+x+1</math> e <math>h(x)=x^2-x+1</math>.
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Considero <math>K_0 = \frac{F_5[x]}{(x^2+x+1)} = F_5(\alpha)</math> con <math>\alpha</math> radice di <math>g(x)</math>, cioè <math>\alpha^2 = 4\alpha+4</math>.
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<math display="block">K_0 = \{ a+b\alpha, \, a,b \in F_5, \, \alpha^2 = 4\alpha+4 \}</math>
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Verifico se <math>K_0</math> contiene radici di <math>h(x)</math>, cioè, preso un elemento <math>a+b \alpha \in K_0</math>, verifico se soddisfa l'equazione <math>h(a+b\alpha)=0</math>.
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<math display="block">(a+b\alpha)^2-a-b\alpha+1 =0</math><math display="block">a^2+2ab \alpha+b^2 \alpha^2-a-b\alpha+1=0</math>
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e siccome <math>\alpha^2 = 4\alpha+4</math>,
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<math display="block">a^2+1+2ab \alpha+b^2 (4\alpha+4)-a-b\alpha+1=0</math><math display="block">a^2+1+2ab \alpha+4b^2 \alpha+4b^2-a-b\alpha+1=0</math><math display="block">(2ab+4b^2-b) \alpha+4b^2-a+2+a^2=0</math>
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e quest'equazione è soddisfatta se
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<math display="block">\begin{cases} a^2+4b^2+4a+1 =0 \\ 2ab+4b^2+4b=0 \end{cases}</math>
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Osservo che <math>a=0, b=-1</math>,  è una soluzione, quindi <math>-\alpha \in K_0</math> è radice di <math>h(x)</math>.
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Allora <math>K_0</math> è campo di spezzamento per <math>f(x)</math>.
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Determino l'altra radice di <math>g(x)</math> eseguendo la divisione:
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<math display="block">\frac{x^2+x+1}{x-\alpha}=</math><math display="block">q_1 = x, \, r_1 = x^2+x+1-x(x-\alpha) = (1+\alpha) x+1</math><math display="block">q_2 = 1+\alpha, \, r_2 = (1+\alpha) x+1-(1+\alpha)(x-\alpha) = \alpha^2+\alpha+1 =0</math>
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quindi <math>x^2+x+1 = (x-\alpha)(x-1-\alpha)</math>, cioè l'altra radice di <math>g(x)</math> è <math>1+\alpha</math>.
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Analogamente si verifica che l'altra radice di <math>h(x)</math> è <math>-1-\alpha</math>.
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''Procedimento alternativo'': si possono trovare le radici dei due polinomi <math>g(x), h(x)</math> con la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.
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Concludo che le radici seste dell'unità sono
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<math display="block">\{ 1, \, -1, \,\alpha, -\alpha, \, \alpha+1, \, -\alpha-1 \}</math>
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Si ha che <math>\varphi(6) =2</math>, quindi ci sono due radici primitive seste. Osservo che
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<math display="block">\alpha^2 = -\alpha-1</math>
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<math display="block">\alpha^3 = \alpha*(-\alpha-1) = -\alpha^2-\alpha = \alpha+1-\alpha = 1 \, \, \longrightarrow o(\alpha) = 3</math><math display="block">(-\alpha)^2 = -1-\alpha</math>
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<math display="block">(-\alpha)^3 = (-1-\alpha)*(-\alpha) = \alpha+\alpha^2 = -1</math>
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<math display="block">(-1)^2 = 1  \, \, \longrightarrow o(\alpha)=2*3 = 6</math><math display="block">(\alpha+1)^2 = \alpha^2+2\alpha+1 = \alpha</math>
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<math display="block">\alpha^3 = 1, \, \, \longrightarrow \, , o(\alpha) = 6</math>
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Quindi in particolare, le radici primitive seste sono <math>-\alpha, \alpha+1</math>.
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<math display="block">***************************************</math>
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{{InizioEsercizio|title=|number=7.7|anchor=Esercizio7_7}}
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Sia <math>\omega \in \mathbb C</math> radice primitiva <math>p</math>-esima dell'unità, cioè <math>\omega = \cos(2\pi/p)+i\sin(2\pi/p)</math> e
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considero <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math>. Calcolare traccia e norma, <math>t(\omega)</math> e <math>n(\omega)</math>, di <math>\omega</math> in <math>\mathbb Q(\omega)\supseteq\mathbb Q</math>.
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{{FineEsercizio}}
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Per le osservazioni precedenti sappiamo che <math>\mathcal G(\mathbb Q(\omega)/\mathbb Q) \cong U_p</math> e quindi è un gruppo ciclico di ordine <math>p-1</math>, chiamo i suoi elementi <math>\{ g_1,g_2,\dots,g_{p-1}\}</math>.
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Gli elementi di <math>\mathcal G(\mathbb Q(\omega)/\mathbb Q)</math> sono determinati dalla loro azione su <math>\omega</math>, e sono tali che  <math>\omega \mapsto \omega^i</math> per <math>i =1,\dots,p-1</math>, in particolare sia <math>g_i</math> tale che <math>\omega \mapsto \omega^i</math>.
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CALCOLO DELLA TRACCIA: Per definizione
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<math display="block">t(\omega) = \omega^{g_1}+\omega^{g_2}+\dots +\omega^{g_n}</math><math display="block">= \sum_{i=1}^{p-1} \omega^i = \omega+\omega^2+\dots +\omega^{p-1}</math>
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e in particolare, <math>t(\omega)+1 = \phi_p(\omega)</math>, e siccome <math>\omega</math> è radice del polinomio ciclotomico, <math>\phi_p(\omega)=0</math> quindi <math>t(\omega)=-1</math>.
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CALCOLO DELLA NORMA:
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<math display="block">n(\omega) = \prod_{i=1}^{p-1} \omega^{g_i} = \prod_{i=1}^{p-1} \omega^i</math><math display="block">= \omega^{\sum_{i=1}^{p-1} i} = \omega^{p(p-1)/2} = (1)^{(p-1)/2} =1</math>
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<math display="block">***************************************</math>
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{{InizioEsercizio|title=|number=7.8|anchor=Esercizio7_8}}
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Sia <math>\alpha=\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>.
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#Calcolare il polinomio minimo <math>f(x)</math> di <math>\alpha</math> su <math>\mathbb Q</math>.
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#Sia <math>M</math> campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>\mathbb Q</math>, mostrare che <math>\mathcal G(M/\mathbb Q)</math> è ciclico di ordine 4.
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#Determinare la corrispondenza di Galois tra campi intermedi e sottogruppi.
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{{FineEsercizio}}
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#POLINOMIO MINIMO: Osservo che<math display="block">\alpha^2 =2+\sqrt{2} \, \longrightarrow \, \alpha^2-2 = \sqrt{2}</math>ed elevando al quadrato l'ultima identità si ha:<math display="block">\alpha^4+4-4\alpha^2 = 2, \, \longrightarrow \, \alpha^4-4\alpha^2+2=0</math>cioè <math>\alpha</math> è radice del polinomio <math>f(x)=x^4-4x^2+2</math>. <math>f(x)</math> è monico, e '''mostro che è irriducibile'''.  Pongo <math>x^2 = t</math> e risolvo l'equazione<math display="block">t^2-4t+2=0</math><math display="block">t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}</math><math display="block">t_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}</math><math display="block">t_{1,2} = 2 \pm \sqrt{2}</math>quindi <math>f(x)</math> si fattorizza nel modo seguente:<math display="block">f(x) = (x^2-\sqrt{2}-2)(x^2-2+\sqrt{2})</math>quindi <math>f(x)</math> non ammette una fattorizzazione in <math>\mathbb Q[x]</math> ed è irriducibile in <math>\mathbb Q[x]</math>, quindi è il polinomio minimo di <math>\alpha</math> su <math>\mathbb Q</math> (potevo anche usare il Criterio di Eisenstein).
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#GRUPPO DI GALOIS: Pongo <math>\alpha = \sqrt{2+\sqrt{2}}</math> e <math>\beta = \sqrt{2-\sqrt{2}}</math>, allora le radici di <math>f(x)</math> sono <math>\pm \alpha</math> e <math>\pm \beta</math>.<math>\rm{gr}(f(x))=|\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q|=4</math>, siccome dobbiamo mostrare che <math>\mathcal G(M/\mathbb Q)</math> è ciclico di ordine 4, '''mostriamo che <math>M = \mathbb Q(\alpha)</math>, equivalentemente che <math>\beta \in \mathbb Q(\alpha)</math>'''. Moltiplico e divido <math>\beta</math> per <math>\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>:<math display="block">\beta = \sqrt{2-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}*\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}</math><math display="block">= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} = (\alpha^2-2)/\alpha = (\alpha^2-2)*\alpha^{-1}</math>quindi <math>\beta \in \mathbb Q(\alpha)</math> e <math>M=\mathbb Q(\alpha)</math>.Segue quindi che <math>4 = |M:\mathbb Q| = o(\mathcal G(M/\mathbb Q)</math>, e <math>G := \mathcal G(M/\mathbb Q)=\{ g_1, g_2, g_3, g_4\}</math>. Gli elementi di <math>G</math> sono determinati dalla loro azione su <math>\alpha</math>, e mandano <math>\alpha</math> in una delle radici di <math>f(x)</math>; supponiamo che gli elementi di <math>G</math> siano definiti nel seguente modo:<math display="block">\alpha^{g_1}=\alpha, \, \alpha^{g_2}=-\alpha, \, \alpha^{g_3}=\beta, \, \alpha^{g_4} = -\beta.</math>Per mostrare che <math>G</math> è ciclico, '''basta trovare un elemento di ordine 4'''. Esplicito le relazioni tra gli elementi di <math>G</math>:#*Per <math>g_2</math> si ha:<math display="block">\alpha^{g_2^2} = (-\alpha)^{g_2} = \alpha</math>quindi <math>o(g_2)=2</math>. Considero allora <math>g_3</math>:#*Per <math>g_3</math> si ha<math display="block">\alpha^{g_3^2} = \beta^{g_3} = (\beta^2-2)/\beta</math>e sostituendo l'espressione di <math>\beta</math>:<math display="block">= \frac{2-\sqrt{2}-2}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}</math><math display="block">= \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}</math>moltiplico e divido per <math>\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>:<math display="block">= \frac{-\sqrt{2}*\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}*\sqrt{2+\sqrt{2}}}</math><math display="block">= \frac{-\sqrt{2}*\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}</math><math display="block">= -\sqrt{2+\sqrt{2}} = -\alpha</math>quindi <math>\alpha^{g_3^2}=\alpha^{g_2}</math>, e <math>g_3^2 = g_2</math>. Allora <math>g_3</math> non ha ordine 2 e quindi ha necessariamente ordine 4, cioè <math>G</math> è ciclico generato da <math>g_3</math>, e pongo <math>g := g_3</math>, e si ha <math>g_2 = g^2</math>.#*Si verifica anche che <math>g_4 = g^3</math>, infatti<math display="block">\alpha^{g^3} = \beta^{g^2} = (-\alpha)^g = -\beta</math>quindi <math>\alpha^{g^3}=\alpha^{g_4}</math> e <math>g_4=g^3</math>.Concludo che <math>G = \{1,g,g^2,g^3\}</math> con <math>\alpha^g = \beta</math>.L'estensione <math>M \supseteq \mathbb Q</math> è normale perché <math>M</math> è campo di spezzamento su <math>\mathbb Q</math> di <math>f(x)</math> e siamo in caratteristica 0.
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#CORRISPONDENZA DI GALOIS: L'unico sottogruppo proprio di <math>G</math> è <math>H = \{1,g^2\}</math>, e determino il corrispondente campo intermedio <math>H' = \rm{Fix} (H)</math>. Basta determinare gli elementi di <math>M</math> fissati da <math>g^2</math>. Essendo <math>M</math> campo di spezzamento di <math>f(x)</math> si ha<math display="block">M = \{ a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2+a_3 \alpha^3, \, a_i \in \mathbb Q,\; \forall i, \alpha^4 = 4\alpha^2-2 \}</math>Dato <math>\xi \in M</math>, siccome <math>g^2</math> è tale che <math>\alpha \mapsto -\alpha</math>, si ha<math display="block">\xi^{g^2} = a_0-a_1 \alpha+a_2 \alpha^2-a_3 \alpha^3</math>e <math>\xi^{g^2}=\xi</math> se e solo se <math>a_1 = a_3 = 0</math>. Si ha quindi<math display="block">H' = \{a_0+a_2 \alpha^2, \, a_i \in \mathbb Q,\; \forall i \} = \mathbb Q(\alpha^2)</math>Diagramma dei campi: <math>\mathbb Q(\alpha) \supseteq \mathbb Q(\alpha^2) \supseteq \mathbb Q</math> (i tre campi sono uniti da un segmento)Diagramma dei sottogruppi: <math>1 \le H \le G</math>
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<math display="block">***************************************</math>
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{{InizioEsercizio|title=|number=7.9|anchor=Esercizio7_9}}
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Determinare il gruppo di Galois <math>\mathcal G(\mathbb Q(\omega)/\mathbb Q)</math> dove <math>\omega</math> è una radice sedicesima dell'unità.
 
{{FineEsercizio}}
 
{{FineEsercizio}}

Versione attuale delle 15:20, 26 ago 2018

  1. ; , inoltre e per il teorema fondamentale di Galois
    e quindi .
  2. ; considero e per prima cosa impongo .
    e tenendo conto che e :
    e imponendo l'uguaglianza segue che , e quindi gli elementi fissati da sono della forma
    Ora, impongo che gli elementi trovati vengano fissati anche da :
    allora, imponendo l'uguaglianza, .
  3. ; considero un generico elemento fissato da , della forma
    Imponendo l'uguaglianza
    quindi,
  4. ; , infatti fissa , , quindi .
  5. ; siccome gli elementi fissati da sono già stati calcolati prima, segue che
    e in particolare se pongo , ottengo .Anche è fissato da ; osservo allora che , inoltre quindi .
  6. ; calcolo gli elementi fissati da , tenendo conto che , e :
    Imponendo l'uguaglianza
    da cui segue che
    Mostro che infatti, calcolando le potenze di ottengo:
    cioè ha come polinomio minimo. Quindi posso porre , e scrivere
  7. ; tenendo conto che e , e preso un generico elemento
    Imponendo l'uguaglianza si ha , quindi
    e calcolando le potenze di :
    quindi ha come polinomio minimo , e ha grado 4.
  8. ; , . Dato della forma
    e imponendo l'uguaglianza:
    quindi
    infatti
    cioè ha polinomio minimo e quindi ha grado 4.



Esercizio 7.4

Calcolare per .

 

Per calcoli precedenti sappiamo che

Inoltre, ricordiamo che in generale, per primo
quindi conosciamo anche .


Calcoliamo i polinomi rimanenti:

  1. e , quindi
    Aggiungendo e togliendo al numeratore:
  2. Eseguo la divisione:
    Complessivamente,
    quindi
  3. Eseguo la divisione
    Quindi
  4. e questa divisione è simile a quella per il calcolo di , quindi
  5. e , mentre , quindi
    Eseguo la divisione:
    quindi
    Ora eseguo la divisione:
    Quindi
  6. Il termine tra parentesi quadra è , e uso l'espressione di :
  7. Eseguo la divisione:
    quindi
  8. e , e , allora
    (il risultato si ottiene facendo la sostituzione , infatti abbiamo già eseguito la divisione )


Esercizio 7.5

Siano primi distinti. Esprimere in termini di .

 

Per il primo lemma, siccome gli unici divisori del prodotto sono , si ha

Moltiplico e divido per :

Esercizio 7.6

Determinare le radici seste dell'unità su .

 

Trovare le radici seste dell'unità in equivale a trovare il campo di spezzamento del polinomio su .


Osservo che gli elementi e in sono radici seste dell'unità, in particolare e , e si ha

Pongo e .


Considero con radice di , cioè .

Verifico se contiene radici di , cioè, preso un elemento , verifico se soddisfa l'equazione .
e siccome ,
e quest'equazione è soddisfatta se
Osservo che , è una soluzione, quindi è radice di . Allora è campo di spezzamento per .


Determino l'altra radice di eseguendo la divisione:

quindi , cioè l'altra radice di è .


Analogamente si verifica che l'altra radice di è .


Procedimento alternativo: si possono trovare le radici dei due polinomi con la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.


Concludo che le radici seste dell'unità sono

Si ha che , quindi ci sono due radici primitive seste. Osservo che

Quindi in particolare, le radici primitive seste sono .


Esercizio 7.7

Sia radice primitiva -esima dell'unità, cioè e considero . Calcolare traccia e norma, e , di in .

 

Per le osservazioni precedenti sappiamo che e quindi è un gruppo ciclico di ordine , chiamo i suoi elementi .


Gli elementi di sono determinati dalla loro azione su , e sono tali che per , in particolare sia tale che .


CALCOLO DELLA TRACCIA: Per definizione

e in particolare, , e siccome è radice del polinomio ciclotomico, quindi .


CALCOLO DELLA NORMA:

Esercizio 7.8

Sia .

  1. Calcolare il polinomio minimo di su .
  2. Sia campo di spezzamento di su , mostrare che è ciclico di ordine 4.
  3. Determinare la corrispondenza di Galois tra campi intermedi e sottogruppi.
 
  1. POLINOMIO MINIMO: Osservo che
    ed elevando al quadrato l'ultima identità si ha:
    cioè è radice del polinomio . è monico, e mostro che è irriducibile. Pongo e risolvo l'equazione
    quindi si fattorizza nel modo seguente:
    quindi non ammette una fattorizzazione in ed è irriducibile in , quindi è il polinomio minimo di su (potevo anche usare il Criterio di Eisenstein).
  2. GRUPPO DI GALOIS: Pongo e , allora le radici di sono e ., siccome dobbiamo mostrare che è ciclico di ordine 4, mostriamo che , equivalentemente che . Moltiplico e divido per :
    quindi e .Segue quindi che , e . Gli elementi di sono determinati dalla loro azione su , e mandano in una delle radici di ; supponiamo che gli elementi di siano definiti nel seguente modo:
    Per mostrare che è ciclico, basta trovare un elemento di ordine 4. Esplicito le relazioni tra gli elementi di :#*Per si ha:
    quindi . Considero allora :#*Per si ha
    e sostituendo l'espressione di :
    moltiplico e divido per :
    quindi , e . Allora non ha ordine 2 e quindi ha necessariamente ordine 4, cioè è ciclico generato da , e pongo , e si ha .#*Si verifica anche che , infatti
    quindi e .Concludo che con .L'estensione è normale perché è campo di spezzamento su di e siamo in caratteristica 0.
  3. CORRISPONDENZA DI GALOIS: L'unico sottogruppo proprio di è , e determino il corrispondente campo intermedio . Basta determinare gli elementi di fissati da . Essendo campo di spezzamento di si ha
    Dato , siccome è tale che , si ha
    e se e solo se . Si ha quindi
    Diagramma dei campi: (i tre campi sono uniti da un segmento)Diagramma dei sottogruppi:



Esercizio 7.9

Determinare il gruppo di Galois dove è una radice sedicesima dell'unità.

 
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