Definizioni di base

Regole

Supponiamo di avere due punti (distinti) e nel piano. Vogliamo costruire altri punti nel piano utilizzando due strumenti:

  1. la riga, cioè possiamo costruire la retta passante per e ;
  2. il compasso, cioè possiamo costruire la circonferenza di centro passante per .

Otteniamo un nuovo punto in tre modi:

  1. come intersezione tra due rette,
  2. come intersezione tra due circonferenze,
  3. come intersezione tra una retta e una circonferenza.


Nel seguito useremo le seguenti costruzioni:


COSTRUZIONE : data una retta e due punti e su , possiamo costruire la retta perpendicolare a e passante per il punto medio tra e con le seguenti operazioni:

  • disegno la retta e i due punti e su (supponiamo che sia a sinistra di );
  • costruisco la circonferenza di centro e passante per ;
  • costruisco la circonferenza di centro e passante per ;
  • chiamo e i due punti di intersezione tra le circonferenze e ;
  • chiamo la retta passante per e : è la retta cercata (mia nota: e sono equidistanti da e ).



COSTRUZIONE : data una retta e due punti su , posso costruire la retta perpendicolare a e passante per con le seguenti operazioni:

  • costruisco la circonferenza di centro passante per ;
  • chiamo l'ulteriore punto di intersezione tra e , ;
  • applico la costruzione alla retta e ai punti e ottengo la retta cercata: infatti è punto medio tra e .



COSTRUZIONE : data una retta , un punto e un punto , posso costruire la retta che passa per ed ortogonale ad con le seguenti operazioni: (disegno orizzontale e sopra )

  • costruisco la circonferenza di centro passante per ;
  • chiamo l'ulteriore punto di intersezione tra ed , ;
  • si ottiene applicando la costruzione a , , : i segmenti e infatti sono uguali perché sono raggi della circonferenza, e quindi la retta che passa per il punto medio di passa anche per .


COSTRUZIONE : data una retta , un punto e , posso costruire la retta parallela a e passante per con le seguenti operazioni:

  • applicando la costruzione disegno la retta passante per e ortogonale a ;
  • chiamo il punto di intersezione tra e .
  • applicando la costruzione a , , disegno la retta perpendicolare a , passante per ;

Campo dei punti costruibili

Dati due punti , posso costruire un riferimento cartesiano nel piano, chiamo la retta passante per e . Con la costruzione costruisco la retta perpendicolare a e passante per . Pongo , in modo che e .


Se , allora è costruibile se il punto di coordinate è costruibile (tramite un numero finito di operazioni con riga e compasso).


Dato un numero , è costruibile se è costruibile.


Tutti i numeri interi sono costruibili, infatti:

  • se costruisco la circonferenza di centro passante per , ottengo come punto di intersezione tra e l'asse ;
  • se procedo in questo modo posso costruire tutti gli interi: in particolare, al passo , il punto si ottiene come punto di intersezione tra l'asse e la circonferenza di centro passante per .


Teorema 5.1

Sia Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle K = \{a \in \mathbb R \, t.c. \, a \textrm{ è costruibile}\}} allora è un sottocampo di .

 
Dimostrazione

Dati , devo mostrare che sono ancora in .

opposto
siccome è costruibile e per ipotesi , posso costruire la circonferenza di centro e passante per ; il punto di intersezione tra e l'asse diverso da è , quindi .
somma
Assumiamo , . Eseguo le seguenti operazioni:
  • Costruisco come punto di intersezione tra l'asse e la circonferenza di centro nell'origine e passante per ;
  • costruisco la retta ortogonale all'asse x e passante per usando la costruzione ;
  • costruisco la retta passante per e parallela all'asse usando la : osservo che il punto di intersezione tra e è ;
  • costruisco la retta passante per e ;
  • costruisco la retta parallela a e passante per con la ;

interseca l'asse delle in un punto di coordinate (è il quarto vertice di un parallelogramma, i cui altri vertici sono , e ). Quindi .

prodotto
eseguo le seguenti operazioni:
  • costruisco i punti e (questo è possibile perché per ipotesi e essendo un intero, quindi per il punto precedente );
  • traccio la retta passante per e ;
  • applicando traccio la retta parallela a passante per ;

Ora scrivo le equazioni di e .

è parallela a e ha coefficiente angolare , quindi
e imponendo che passi per :
quindi
Il punto di intersezione tra e l'asse y è . Per i punti precedenti, .

inverso $a^{-1}$($a \neq 0$)
  • costruisco e sull'asse ;
  • chiamo la retta passante per e ;
  • traccio la retta parallela a passante per .


Scrivo l'equazione della retta :

allora il punto di intersezione tra e l'asse è , e per i punti precedenti posso costruire , cioè .

 


Osservazione 5.1

Dato un numero complesso , esso è costruibile se e solo se lo sono e .

 
Dimostrazione

: implica che sono costruibili i punti e . Traccio la parallela all'asse passante per e la parallela all'asse passante per , è il punto di intersezione tra queste due parallele.


: viceversa, se è costruibile e traccio le parallele agli assi cartesiani e passanti per , ottengo come punti di intersezione e , e quindi .

 


Corollario 5.1

Dato Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle K = \{\alpha \in \mathbb C \, t.c. \, \alpha \textrm{ è costruibile} \}} , allora è un sottocampo di .

 
Dimostrazione

Dati della forma , , allora , e siccome le componenti e sono costruibili, anche è costruibile. Si applica lo stesso ragionamento per i prodotti, gli inversi e gli opposti.

 
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