Criterio per la costruibilità

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==Condizione necessaria e sufficiente per la costruibilità==
 
==Condizione necessaria e sufficiente per la costruibilità==
{{InizioTeorema|titolo=|number=5.2|anchor=Teorema5_2}}
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{{InizioTeorema|title=|number=5.2|anchor=Teorema5_2}}
 
Un numero complesso <math>z \in \mathbb C</math> è costruibile se e solo se esiste una catena di campi della forma <math>\mathbb Q = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_r</math>, dove <math>z \in K_r</math>, e <math>|K_{i+1}:K_i| \le 2</math>.
 
Un numero complesso <math>z \in \mathbb C</math> è costruibile se e solo se esiste una catena di campi della forma <math>\mathbb Q = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_r</math>, dove <math>z \in K_r</math>, e <math>|K_{i+1}:K_i| \le 2</math>.
 
{{FineTeorema}}
 
{{FineTeorema}}
  
 
{{InizioDimostrazione}}
 
{{InizioDimostrazione}}
<MATH>1 \LONGRIGHTARROW 2</MATH>: Supponiamo che <math>z</math> sia costruibile, allora esiste una successione
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<math>1 \longrightarrow 2</math>: Supponiamo che <math>z</math> sia costruibile, allora esiste una successione<math display="block">0,\, 1,\, z_1=i,\, z_2,\dots,z_s=z</math>dove gli <math>z_i</math> sono numeri complessi tali che <math>z_{i+1}</math> si ottiene come punto di intersezione di retta-retta, retta-circonferenza o circonferenza-circonferenza, definite a partire dagli elementi precedenti della successione, cioè a partire dai punti <math>0,1,z_1,\dots,z_i</math>.<br>
<math display="block">0,\, 1,\, z_1=i,\, z_2,\dots,z_s=z</math>
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Definiamo<math display="block">E_0=F_0 :=\mathbb Q</math><math display="block">E_1=F_1 :=\mathbb Q(i).</math><math display="block">Supponendo\, di\, aver\, definito\, E_i,\, definiamo</math>
dove gli <math>z_i</math> sono numeri complessi tali che <math>z_{i+1}</math> si ottiene come punto di intersezione di retta-retta, retta-circonferenza o circonferenza-circonferenza, definite a partire dagli elementi precedenti della successione, cioè a partire dai punti <math>0,1,z_1,\dots,z_i</math>.
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<math display="block">F_{i+1} = E_i(z_{i+1}); \; E_{i+1} = F_{i+1}(\bar z_{i+1})</math>Supponiamo di aver dimostrato che <math>E_i</math> contenga l'unità immaginaria e sia chiuso per coniugio. Allora vogliamo provare che
 
 
 
 
Definiamo
 
<math display="block">E_0=F_0 :=\mathbb Q</math>
 
<math display="block">E_1=F_1 :=\mathbb Q(i).</math>
 
<math display="block">\intertext{Supponendo di aver definito $E_i$, definiamo}</math>
 
<math display="block">F_{i+1} = E_i(z_{i+1}); \; E_{i+1} = F_{i+1}(\bar z_{i+1})</math>
 
<math display="block"></math>
 
Supponiamo di aver dimostrato che <math>E_i</math> contenga l'unità immaginaria e sia chiuso per coniugio. Allora vogliamo provare che
 
  
 
#<math>|F_{i+1}:E_i| \le 2</math>
 
#<math>|F_{i+1}:E_i| \le 2</math>
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L'affermazione <math>I)</math> è vera perché <math>E_i</math> e <math>z_{i+1}</math> soddisfano le ipotesi del lemma 2. L'unita' immaginaria <math>i</math> è contenuta in ogni <math>E_j</math>. Per dimostrare le affermazioni I) e II) distinguiamo due casi:
 
L'affermazione <math>I)</math> è vera perché <math>E_i</math> e <math>z_{i+1}</math> soddisfano le ipotesi del lemma 2. L'unita' immaginaria <math>i</math> è contenuta in ogni <math>E_j</math>. Per dimostrare le affermazioni I) e II) distinguiamo due casi:
  
*<MATH>Z_{I+1} \IN E_I</MATH>, e quindi <math>F_{i+1} = E_i(z_{i+1}) = E_i</math>. Per ipotesi, <math>E_i</math> è chiuso per coniugio, quindi <math>\bar z_{i+1} \in E_i</math>, segue anche che <math>E_{i+1} = E_i</math>; per quest'ultimo fatto, ovviamente si ha <math>|E_{i+1}:F_{i+1}| = 1 \le 2</math> e <math>E_{i+1}</math> soddisfa le proprietà 1 e 2, e valgono quindi le affermazioni II) e III).
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*<math>Z_{i+1} \in E_i</math>, e quindi <math>F_{i+1} = E_i(z_{i+1}) = E_i</math>. Per ipotesi, <math>E_i</math> è chiuso per coniugio, quindi <math>\bar z_{i+1} \in E_i</math>, segue anche che <math>E_{i+1} = E_i</math>; per quest'ultimo fatto, ovviamente si ha <math>|E_{i+1}:F_{i+1}| = 1 \le 2</math> e <math>E_{i+1}</math> soddisfa le proprietà 1 e 2, e valgono quindi le affermazioni II) e III).
 
*<MATH>Z_{I+1}</MATH> HA GRADO 2 SU <MATH>E_I</MATH>, segue che <math>z_{i+1}</math> ha un polinomio minimo della forma <math>x^2+\alpha x+\beta    \in E_i[x]</math>, cioè <math>z_{i+1}</math> risolve l'equazione <math>z^2+\alpha z+\beta=0</math>. Passando ai coniugati, segue che <math>\bar z_{i+1}</math> è radice del polinomio <math>z^2+\bar \alpha z+\bar \beta</math> a coefficienti in <math>E_i[x]</math>, e quindi anche in <math>F_{i+1}[x]</math>. Allora rimane vero che <math>|E_{i+1}:F_{i+1}| \le 2</math>, perché <math>E_{i+1} = F_{i+1}(\bar z_{i+1})</math>, e vale l'affermazione II).
 
*<MATH>Z_{I+1}</MATH> HA GRADO 2 SU <MATH>E_I</MATH>, segue che <math>z_{i+1}</math> ha un polinomio minimo della forma <math>x^2+\alpha x+\beta    \in E_i[x]</math>, cioè <math>z_{i+1}</math> risolve l'equazione <math>z^2+\alpha z+\beta=0</math>. Passando ai coniugati, segue che <math>\bar z_{i+1}</math> è radice del polinomio <math>z^2+\bar \alpha z+\bar \beta</math> a coefficienti in <math>E_i[x]</math>, e quindi anche in <math>F_{i+1}[x]</math>. Allora rimane vero che <math>|E_{i+1}:F_{i+1}| \le 2</math>, perché <math>E_{i+1} = F_{i+1}(\bar z_{i+1})</math>, e vale l'affermazione II).
  
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La chiusura per coniugio di <math>E_{i+1}</math> segue dal fatto che<math display="block">E_{i+1} = F_{i+1}(\bar z_{i+1}) = E_i(z_{i+1}, \bar z_{i+1})</math>quindi, un generico elemento di <math>E_{i+1}</math> è della forma<math display="block">(\alpha+\beta z_{i+1})+(\gamma+\delta z_{i+1}) \bar z_{i+1}, \; \alpha,\beta,\delta,\gamma \in E_i</math>e quindi anche il coniugato di questo elemento sta ancora in <math>E_{i+1}</math> (<math>\bar \alpha,\bar \beta,\bar \delta,\bar \gamma</math> stanno ancora in <math>E_i</math> perché <math>E_i</math> è chiuso rispetto al coniugio).
  
La chiusura per coniugio di <math>E_{i+1}</math> segue dal fatto che
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Provando le affermazioni I), II), e III) abbiamo costruito una catena di estensioni<math display="block">E_0=F_0=\mathbb Q \subseteq E_1=F_1=\mathbb Q(i) \subseteq F_2 \subseteq E_2 \subseteq F_3 \subseteq E_3 \subseteq \dots \subseteq F_t \subseteq E_t</math>come nell'enunciato.<br>
<math display="block">E_{i+1} = F_{i+1}(\bar z_{i+1}) = E_i(z_{i+1}, \bar z_{i+1})</math>
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<math>2 \longrightarrow 1</math>: viceversa, dobbiamo dimostrare che se esiste una catena di campi<math display="block">\mathbb Q=K_0 \subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_r</math>dove <math>z \in K_r</math> e <math>|K_{i+1}:K_i| \le 2</math> allora <math>z</math> è costruibile.
quindi, un generico elemento di <math>E_{i+1}</math> è della forma
 
<math display="block">(\alpha+\beta z_{i+1})+(\gamma+\delta z_{i+1}) \bar z_{i+1}, \; \alpha,\beta,\delta,\gamma \in E_i</math>
 
e quindi anche il coniugato di questo elemento sta ancora in <math>E_{i+1}</math> (<math>\bar \alpha,\bar \beta,\bar \delta,\bar \gamma</math> stanno ancora in <math>E_i</math> perché <math>E_i</math> è chiuso rispetto al coniugio).
 
 
 
Provando le affermazioni I), II), e III) abbiamo costruito una catena di estensioni
 
<math display="block">E_0=F_0=\mathbb Q \subseteq E_1=F_1=\mathbb Q(i) \subseteq F_2 \subseteq E_2 \subseteq F_3 \subseteq E_3 \subseteq \dots \subseteq F_t \subseteq E_t</math>
 
come nell'enunciato.
 
 
 
 
 
<MATH>2 \LONGRIGHTARROW 1</MATH>: viceversa, dobbiamo dimostrare che se esiste una catena di campi
 
<math display="block">\mathbb Q=K_0 \subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_r</math>
 
dove <math>z \in K_r</math> e <math>|K_{i+1}:K_i| \le 2</math> allora <math>z</math> è costruibile.
 
 
 
  
 
Basta dimostrare il seguente fatto: '''se <math>F</math> è un sottocampo di <math>\mathbb C</math>,  tutti gli elementi di <math>F</math> sono costruibili ed esiste <math>E</math> tale che <math>|E:F|=2</math>, allora tutti gli elementi di <math>E</math> sono costruibili'''.
 
Basta dimostrare il seguente fatto: '''se <math>F</math> è un sottocampo di <math>\mathbb C</math>,  tutti gli elementi di <math>F</math> sono costruibili ed esiste <math>E</math> tale che <math>|E:F|=2</math>, allora tutti gli elementi di <math>E</math> sono costruibili'''.
 
 
 
Vogliamo quindi mostrare che ogni <math>\alpha \in E \smallsetminus F</math> è costruibile. Siccome <math>|E:F|=2</math>, dato <math>\alpha \in E \smallsetminus F</math>, segue che <math>F(\alpha)=E</math>, e <math>\alpha</math> sarà lo zero di un polinomio della forma <math>x^2+bx+c</math> a coefficienti in <math>F</math>.
 
Vogliamo quindi mostrare che ogni <math>\alpha \in E \smallsetminus F</math> è costruibile. Siccome <math>|E:F|=2</math>, dato <math>\alpha \in E \smallsetminus F</math>, segue che <math>F(\alpha)=E</math>, e <math>\alpha</math> sarà lo zero di un polinomio della forma <math>x^2+bx+c</math> a coefficienti in <math>F</math>.
 
 
 
Posto <math>\Delta=b^2-4c</math>, si ha <math>\delta \in F</math> e <math>\alpha=\frac{-b \pm \sqrt{\delta}}{2}</math>, e <math>\alpha</math> è costruibile se <math>\sqrt{\delta}</math> è costruibile, quindi non è restrittivo supporre che <math>\alpha^2 \in F</math>.
 
Posto <math>\Delta=b^2-4c</math>, si ha <math>\delta \in F</math> e <math>\alpha=\frac{-b \pm \sqrt{\delta}}{2}</math>, e <math>\alpha</math> è costruibile se <math>\sqrt{\delta}</math> è costruibile, quindi non è restrittivo supporre che <math>\alpha^2 \in F</math>.
 
 
 
Pongo <math>\alpha^2=a</math>, '''e mostriamo che <math>\sqrt{a}</math> è costruibile'''. Distinguiamo due casi:
 
Pongo <math>\alpha^2=a</math>, '''e mostriamo che <math>\sqrt{a}</math> è costruibile'''. Distinguiamo due casi:
  
 
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CASO 1: <math>A \in \mathbb R, A>0</math>. Allora <math>\sqrt{a}</math> è costruibile con le seguenti operazioni:
CASO 1: <MATH>A \IN \MATHBB R, A>0</MATH>. Allora <math>\sqrt{a}</math> è costruibile con le seguenti operazioni:
 
  
 
*traccio la circonferenza <math>\mathcal C</math> con centro in <math>((a+1)/2,0)</math> passante per <math>(0,0)</math>;
 
*traccio la circonferenza <math>\mathcal C</math> con centro in <math>((a+1)/2,0)</math> passante per <math>(0,0)</math>;
 
*costruisco la retta <math>\mathcal R</math> passante per <math>(1,0)</math> e parallela all'asse delle y (per fissare le idee suppongo che <math>(a+1)/2>1</math>).
 
*costruisco la retta <math>\mathcal R</math> passante per <math>(1,0)</math> e parallela all'asse delle y (per fissare le idee suppongo che <math>(a+1)/2>1</math>).
 
*chiamo <math>P</math> il punto di intersezione tra <math>\mathcal C</math> ed <math>\mathcal R</math> di ascissa positiva, e ne determino le coordinate.
 
*chiamo <math>P</math> il punto di intersezione tra <math>\mathcal C</math> ed <math>\mathcal R</math> di ascissa positiva, e ne determino le coordinate.
<math>\mathcal C</math> ha equazione
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<math>\mathcal C</math> ha equazione<math display="block">(x-(a+1)/2)^2+y^2 = ((a+1)/2)^2</math>e ponendo <math>r=(a+1)/2</math>:<math display="block">(x-r)^2+y^2=r^2</math><math display="block">x^2+r^2-2rx+y^2=r^2</math>e il punto di intersezione tra <math>\mathcal C</math> e la retta <math>\mathcal R: x=1</math> ottengo<math display="block">y^2=2r-1, \, \longrightarrow y^+ = \sqrt{2r-1} = \sqrt{2(a+1)/2-1} = \sqrt{a}</math><math>P</math> ha coordinate <math>(1,\sqrt{a})</math>.
<math display="block">(x-(a+1)/2)^2+y^2 = ((a+1)/2)^2</math>
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e ponendo <math>r=(a+1)/2</math>:
 
<math display="block">(x-r)^2+y^2=r^2</math><math display="block">x^2+r^2-2rx+y^2=r^2</math>
 
e il punto di intersezione tra <math>\mathcal C</math> e la retta <math>\mathcal R: x=1</math> ottengo
 
<math display="block">y^2=2r-1, \, \longrightarrow y^+ = \sqrt{2r-1} = \sqrt{2(a+1)/2-1} = \sqrt{a}</math><math>P</math> ha coordinate <math>(1,\sqrt{a})</math>.
 
 
*costruisco la retta <math>\mathcal L</math> passante per <math>P</math> e parallela all'asse x.
 
*costruisco la retta <math>\mathcal L</math> passante per <math>P</math> e parallela all'asse x.
 
*il punto di intersezione tra <math>\mathcal L</math> e l'asse y ha coordinate <math>(0,\sqrt{a})</math>.
 
*il punto di intersezione tra <math>\mathcal L</math> e l'asse y ha coordinate <math>(0,\sqrt{a})</math>.
  
 
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CASO 2: <math>A \in \mathbb C</math>, cioè <math>a = re^{i\theta} = r(\cos \theta+i\sin \theta)</math>. <math>\sqrt{a}</math> è costruibile con le seguenti operazioni:
CASO 2: <MATH>A \IN \MATHBB C</MATH>, cioè <math>a = re^{i\theta} = r(\cos \theta+i\sin \theta)</math>. <math>\sqrt{a}</math> è costruibile con le seguenti operazioni:
 
  
 
*considero la circonferenza <math>\mathcal C</math> centrata nell'origine e passante per <math>P=(r\cos \theta,r\sin \theta)</math> (posso farlo  perché per ipotesi <math>a \in F</math>).
 
*considero la circonferenza <math>\mathcal C</math> centrata nell'origine e passante per <math>P=(r\cos \theta,r\sin \theta)</math> (posso farlo  perché per ipotesi <math>a \in F</math>).
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{{InizioCorollario|titolo=|number=5.2|anchor=Corollario5_2}}
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{{InizioCorollario|title=|number=5.2|anchor=Corollario5_2}}
 
Sia <math>z \in \mathbb C</math>, se <math>z</math> è costruibile allora <math>|\mathbb Q(z):\mathbb Q| = 2^n</math> con <math>n \ge 0</math>.
 
Sia <math>z \in \mathbb C</math>, se <math>z</math> è costruibile allora <math>|\mathbb Q(z):\mathbb Q| = 2^n</math> con <math>n \ge 0</math>.
 
{{FineCorollario}}
 
{{FineCorollario}}
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#QUADRATURA DEL CERCHIO: '''si vuole costruire con riga e compasso un quadrato di area pari a quella di un cerchio dato'''.Assumiamo che il cerchio abbia raggio 1, allora per risolvere il problema bisognerebbe costruire con riga e compasso <math>\sqrt{\pi}</math>. Questo non e' possibile perché <math>\sqrt{\pi}</math> è trascendente su <math>\mathbb Q</math>, mentre per la proposizione precedente <math>z</math> è costruibile solo se <math>|\mathbb Q(z):\mathbb Q|=2^n, \, n \ge 0</math>.
 
#QUADRATURA DEL CERCHIO: '''si vuole costruire con riga e compasso un quadrato di area pari a quella di un cerchio dato'''.Assumiamo che il cerchio abbia raggio 1, allora per risolvere il problema bisognerebbe costruire con riga e compasso <math>\sqrt{\pi}</math>. Questo non e' possibile perché <math>\sqrt{\pi}</math> è trascendente su <math>\mathbb Q</math>, mentre per la proposizione precedente <math>z</math> è costruibile solo se <math>|\mathbb Q(z):\mathbb Q|=2^n, \, n \ge 0</math>.
 
#DUPLICAZIONE DEL CUBO: '''costruire con riga e compasso un cubo di volume doppio del volume di un cubo dato'''. Assumiamo che il cubo dato abbia lato 1, allora bisognerebbe costruire con riga e compasso <math>\sqrt[3]{2}</math>, ma <math>\sqrt[3]{2}</math> ha grado 3 su <math>\mathbb Q</math>, e quindi non è costruibile perché non soddisfa le ipotesi del corollario.
 
#DUPLICAZIONE DEL CUBO: '''costruire con riga e compasso un cubo di volume doppio del volume di un cubo dato'''. Assumiamo che il cubo dato abbia lato 1, allora bisognerebbe costruire con riga e compasso <math>\sqrt[3]{2}</math>, ma <math>\sqrt[3]{2}</math> ha grado 3 su <math>\mathbb Q</math>, e quindi non è costruibile perché non soddisfa le ipotesi del corollario.
#TRISEZIONE DELL'ANGOLO DI <MATH>\PI/3</MATH>: '''costruire un angolo pari a un terzo di quello dato'''. Posso costruire <math>\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)= 1/2+i\sqrt{3}/2</math> con le seguenti operazioni:#*costruisco la circonferenza di centro l'origine e raggio 1;#*costruisco la retta <math>\mathcal R</math> passante per <math>(1/2,0)</math> e parallela all'asse y.#*il punto <math>(1/2,\sqrt{3}/2)</math> è uno dei punti di intersezione tra <math>\mathcal C</math> e <math>\mathcal R</math>.Tuttavia non posso costruire <math>e^{i\pi/9}</math>, perché questa è una radice primitiva 18-esima dell'unità, il cui polinomio minimo ha grado <math>\varphi(18)=6</math>, e non è una potenza di 2.
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#TRISEZIONE DELL'ANGOLO DI <math>\pi/3</math>: '''costruire un angolo pari a un terzo di quello dato'''. Posso costruire <math>\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)= 1/2+i\sqrt{3}/2</math> con le seguenti operazioni:#*costruisco la circonferenza di centro l'origine e raggio 1;#*costruisco la retta <math>\mathcal R</math> passante per <math>(1/2,0)</math> e parallela all'asse y.#*il punto <math>(1/2,\sqrt{3}/2)</math> è uno dei punti di intersezione tra <math>\mathcal C</math> e <math>\mathcal R</math>.Tuttavia non posso costruire <math>e^{i\pi/9}</math>, perché questa è una radice primitiva 18-esima dell'unità, il cui polinomio minimo ha grado <math>\varphi(18)=6</math>, e non è una potenza di 2.
  
 
==Costruzione di poligoni regolari==
 
==Costruzione di poligoni regolari==
{{InizioTeorema|titolo=|number=5.3|anchor=Teorema5_3}}
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{{InizioTeorema|title=|number=5.3|anchor=Teorema5_3}}
 
Sia <math>p >2</math> un numero primo, allora il poligono regolare con <math>p</math> lati è costruibile se e solo se <math>p</math> è della forma <math>2^{2^s}+1</math>, <math>s \in \mathbb N</math>.
 
Sia <math>p >2</math> un numero primo, allora il poligono regolare con <math>p</math> lati è costruibile se e solo se <math>p</math> è della forma <math>2^{2^s}+1</math>, <math>s \in \mathbb N</math>.
 
{{FineTeorema}}
 
{{FineTeorema}}
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Il poligono regolare con <math>p</math> lati è costruibile se e solo se è costruibile una radice primitiva <math>p</math>-esima dell'unità.
 
Il poligono regolare con <math>p</math> lati è costruibile se e solo se è costruibile una radice primitiva <math>p</math>-esima dell'unità.
  
 
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<math>1 \longrightarrow 2</math>: per ipotesi, la radice primitiva <math>\omega = \cos(2\pi/p)+i\sin(2\pi/p) = e^{i2\pi/p}</math> è costruibile, allora <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|=2^m, \, m \in \mathbb N</math> per il corollario.
<MATH>1 \LONGRIGHTARROW 2</MATH>: per ipotesi, la radice primitiva <math>\omega = \cos(2\pi/p)+i\sin(2\pi/p) = e^{i2\pi/p}</math> è costruibile, allora <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|=2^m, \, m \in \mathbb N</math> per il corollario.
 
 
Inoltre <math>\omega</math> ha come polinomio minimo <math>\phi_p(x)</math> e <math>\rm{gr} (\phi_p(x)) = \varphi(p) = p-1</math>, quindi <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|=p-1</math>. Eguagliando le due espressioni di <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|</math> segue quindi che <math>p-1 = 2^m</math>, cioè <math>p=2^m+1</math>. '''Proviamo che <math>m=2^s</math>'''.
 
Inoltre <math>\omega</math> ha come polinomio minimo <math>\phi_p(x)</math> e <math>\rm{gr} (\phi_p(x)) = \varphi(p) = p-1</math>, quindi <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|=p-1</math>. Eguagliando le due espressioni di <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|</math> segue quindi che <math>p-1 = 2^m</math>, cioè <math>p=2^m+1</math>. '''Proviamo che <math>m=2^s</math>'''.
  
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Se <math>m</math> non è una potenza di 2, potrò scrivere <math>m=k*l</math> con <math>k</math> numero dispari. Il polinomio <math>x^k+1</math> ammette <math>-1</math> come radice quindi<math display="block">x^k+1 = (x+1)*f(x), \; f(x) \in \mathbb Z[x]</math><math display="block">\longrightarrow \, p = 2^m+1 = 2^{kl}+1 = (2^l)^k+1 = (2^l+1)*f(2^l)</math>ma questo contraddice il fatto che <math>p</math> sia primo. Rimane provato che <math>m</math> è una potenza di 2.
  
Se <math>m</math> non è una potenza di 2, potrò scrivere <math>m=k*l</math> con <math>k</math> numero dispari. Il polinomio <math>x^k+1</math> ammette <math>-1</math> come radice quindi
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<math>2 \longrightarrow 1</math>: per ipotesi <math>p=2^{2^s}+1</math>, considero <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math> con <math>\omega</math> radice primitiva <math>p</math>-esima dell'unità. Il gruppo <math>\mathcal G(\mathbb Q(\omega)/\mathbb Q)</math> è abeliano di ordine <math>2^{2^s}</math> (anzi ciclico perché <math>p</math> è primo). Allora esiste una catena di sottogruppi <math>G=G_0 \supseteq G_1 \supseteq G_2 \dots \supseteq G_s=1</math>, dove <math>G_{i+1}</math> è normale in <math>G_i</math> e <math>o(G_i/G_{i+1})=2</math>. Per il teorema della corrispondenza di Galois, considerando i campi intermedi <math>(G_i)'</math>, trovo una catena di campi <math>\mathbb Q=K_0 \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \dots \subseteq K_r = \mathbb Q(\omega)</math> con <math>|K_{i+1}:K_i|=2</math>, e questo significa che <math>\omega</math> è costruibile per il teoerma che fornisce un criterio per la costruibilita' (il primo teorema della sezione).
<math display="block">x^k+1 = (x+1)*f(x), \; f(x) \in \mathbb Z[x]</math><math display="block">\longrightarrow \, p = 2^m+1 = 2^{kl}+1 = (2^l)^k+1 = (2^l+1)*f(2^l)</math>
 
ma questo contraddice il fatto che <math>p</math> sia primo. Rimane provato che <math>m</math> è una potenza di 2.
 
 
 
 
 
<MATH>2 \LONGRIGHTARROW 1</MATH>: per ipotesi <math>p=2^{2^s}+1</math>, considero <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math> con <math>\omega</math> radice primitiva <math>p</math>-esima dell'unità. Il gruppo <math>\mathcal G(\mathbb Q(\omega)/\mathbb Q)</math> è abeliano di ordine <math>2^{2^s}</math> (anzi ciclico perché <math>p</math> è primo). Allora esiste una catena di sottogruppi <math>G=G_0 \supseteq G_1 \supseteq G_2 \dots \supseteq G_s=1</math>, dove <math>G_{i+1}</math> è normale in <math>G_i</math> e <math>o(G_i/G_{i+1})=2</math>. Per il teorema della corrispondenza di Galois, considerando i campi intermedi <math>(G_i)'</math>, trovo una catena di campi <math>\mathbb Q=K_0 \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \dots \subseteq K_r = \mathbb Q(\omega)</math> con <math>|K_{i+1}:K_i|=2</math>, e questo significa che <math>\omega</math> è costruibile per il teoerma che fornisce un criterio per la costruibilita' (il primo teorema della sezione).
 
 
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Più in generale, se considero un poligono regolare con <math>n</math> lati, esso è costruibile se è costruibile una radice <math>n</math>-esima primitiva dell'unità <math>\omega</math>, e <math>\omega</math> ha grado <math>\varphi(n)</math> sopra <math>\mathbb Q</math>. Ora <math>\omega</math> è costruibile se e solo se <math>n = 2^k*p_1*p_2*\dots*p_s</math>, dove <math>p_i \neq p_j</math> per <math>i \neq j</math> e <math>p_i = 2^{2^{s_i}}+1</math>.
 
Più in generale, se considero un poligono regolare con <math>n</math> lati, esso è costruibile se è costruibile una radice <math>n</math>-esima primitiva dell'unità <math>\omega</math>, e <math>\omega</math> ha grado <math>\varphi(n)</math> sopra <math>\mathbb Q</math>. Ora <math>\omega</math> è costruibile se e solo se <math>n = 2^k*p_1*p_2*\dots*p_s</math>, dove <math>p_i \neq p_j</math> per <math>i \neq j</math> e <math>p_i = 2^{2^{s_i}}+1</math>.

Versione attuale delle 14:11, 21 mag 2018

Lemmi preliminari[modifica | modifica wikitesto]

Considereremo sottocampi tali che

  1. contiene l'unità immaginaria, cioè ;
  2. è chiuso rispetto al coniugio, cioè se , anche .


Lemma 5.1

Sia un campo che soddisfa le proprietà 1 e 2. Siano e due elementi di , allora

  1. ;
  2. se è l'equazione della retta che passa per e , allora .
  3. se è l'equazione della circonferenza di centro e passante per il punto di coordinate , allora .
 
Dimostrazione
  1. , e siccome è chiuso per coniugio, anche , allora siccome è chiuso rispetto alla somma e alla differenza, si ha , e . Di conseguenza, siccome e , anche , e lo stesso vale per .
  2. Se è la retta che passa per e , segue che e , allora, facendo la differenza tra queste due condizioni, si ha
    quindi , perché è espressa come somma e differenza e prodotto di elementi che per il punto 1 stanno in . Di conseguenza, siccome per la prima equazione si ha anche .
  3. Se è l'equazione della circonferenza di centro e passante per , sostituendo le coordinate di nell'equazione segue che
    cioè .
 


Lemma 5.2

Sia un campo che soddisfa le proprietà 1 e 2. Sia , dove si ottiene come intersezione di

  1. due rette definite a partire da punti in ,
  2. retta e circonferenza definite a partire da punti in ,
  3. due circonferenze definite a partire da punti di .

Allora .

 
Dimostrazione

Distinguiamo i tre casi:

  1. è punto di intersezione di due rette, e . Per il lemma precedente , allora
    e, sottraendo tra loro le due equazioni, ottengo
    cioè . Per la prima equazione anche . Siccome contiene l'unità immaginaria, e quindi e l'estensione ha grado 1.
  2. è punto d'intersezione tra la retta di equazione e la circonferenza di equazione .Allora per il lemma precedente. Sostituendo le coordinate di nelle due equazioni ottengo
    e sostituendo la prima equazione nella seconda ottengo
    Quest'equazione è di secondo grado e ha coefficienti in . Allora .Inoltre , si ha che , quindi , quindi .
  3. si ottiene come punto di intersezione di due circonferenze,
    Allora soddisfa l'equazione ottenuta sottraendo a , cioè
    che è l'equazione di una retta, e quindi ci si riconduce al caso 2.
 

Condizione necessaria e sufficiente per la costruibilità[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 5.2

Un numero complesso è costruibile se e solo se esiste una catena di campi della forma , dove , e .

 
Dimostrazione

: Supponiamo che sia costruibile, allora esiste una successione

dove gli sono numeri complessi tali che si ottiene come punto di intersezione di retta-retta, retta-circonferenza o circonferenza-circonferenza, definite a partire dagli elementi precedenti della successione, cioè a partire dai punti .
Definiamo
Supponiamo di aver dimostrato che contenga l'unità immaginaria e sia chiuso per coniugio. Allora vogliamo provare che

  1. anche soddisfa le proprietà 1 e 2.

L'affermazione è vera perché e soddisfano le ipotesi del lemma 2. L'unita' immaginaria è contenuta in ogni . Per dimostrare le affermazioni I) e II) distinguiamo due casi:

  • , e quindi . Per ipotesi, è chiuso per coniugio, quindi , segue anche che ; per quest'ultimo fatto, ovviamente si ha e soddisfa le proprietà 1 e 2, e valgono quindi le affermazioni II) e III).
  • HA GRADO 2 SU , segue che ha un polinomio minimo della forma , cioè risolve l'equazione . Passando ai coniugati, segue che è radice del polinomio a coefficienti in , e quindi anche in . Allora rimane vero che , perché , e vale l'affermazione II).

La chiusura per coniugio di segue dal fatto che

quindi, un generico elemento di è della forma
e quindi anche il coniugato di questo elemento sta ancora in ( stanno ancora in perché è chiuso rispetto al coniugio).

Provando le affermazioni I), II), e III) abbiamo costruito una catena di estensioni

come nell'enunciato.
: viceversa, dobbiamo dimostrare che se esiste una catena di campi
dove e allora è costruibile.

Basta dimostrare il seguente fatto: se è un sottocampo di , tutti gli elementi di sono costruibili ed esiste tale che , allora tutti gli elementi di sono costruibili. Vogliamo quindi mostrare che ogni è costruibile. Siccome , dato , segue che , e sarà lo zero di un polinomio della forma a coefficienti in . Posto , si ha e , e è costruibile se è costruibile, quindi non è restrittivo supporre che . Pongo , e mostriamo che è costruibile. Distinguiamo due casi:

CASO 1: . Allora è costruibile con le seguenti operazioni:

  • traccio la circonferenza con centro in passante per ;
  • costruisco la retta passante per e parallela all'asse delle y (per fissare le idee suppongo che ).
  • chiamo il punto di intersezione tra ed di ascissa positiva, e ne determino le coordinate.

ha equazione

e ponendo :
e il punto di intersezione tra e la retta ottengo
ha coordinate .

  • costruisco la retta passante per e parallela all'asse x.
  • il punto di intersezione tra e l'asse y ha coordinate .

CASO 2: , cioè . è costruibile con le seguenti operazioni:

  • considero la circonferenza centrata nell'origine e passante per (posso farlo perché per ipotesi ).
  • chiamo il punto di intersezione tra e l'asse x, cioè .
  • chiamo la retta passante per e .
  • Traccio la retta ortogonale a passante per il punto medio tra e .
  • ho individuato il punto intersezione di ed , che ha coordinate cioe'e' costruibile.

Osservo che , e siccome abbiamo appena mostrato che è costruibile, allora possiamo costruire dove è costruibile per il caso 1.

 


Corollario 5.2

Sia , se è costruibile allora con .

 
Dimostrazione

Se è costruibile, esiste un campo con e . Siccome , e quindi è una potenza di 2.

 

Tre problemi classici[modifica | modifica wikitesto]

Discutiamo i seguenti problemi classici:

  1. QUADRATURA DEL CERCHIO: si vuole costruire con riga e compasso un quadrato di area pari a quella di un cerchio dato.Assumiamo che il cerchio abbia raggio 1, allora per risolvere il problema bisognerebbe costruire con riga e compasso . Questo non e' possibile perché è trascendente su , mentre per la proposizione precedente è costruibile solo se .
  2. DUPLICAZIONE DEL CUBO: costruire con riga e compasso un cubo di volume doppio del volume di un cubo dato. Assumiamo che il cubo dato abbia lato 1, allora bisognerebbe costruire con riga e compasso , ma ha grado 3 su , e quindi non è costruibile perché non soddisfa le ipotesi del corollario.
  3. TRISEZIONE DELL'ANGOLO DI : costruire un angolo pari a un terzo di quello dato. Posso costruire con le seguenti operazioni:#*costruisco la circonferenza di centro l'origine e raggio 1;#*costruisco la retta passante per e parallela all'asse y.#*il punto è uno dei punti di intersezione tra e .Tuttavia non posso costruire , perché questa è una radice primitiva 18-esima dell'unità, il cui polinomio minimo ha grado , e non è una potenza di 2.

Costruzione di poligoni regolari[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 5.3

Sia un numero primo, allora il poligono regolare con lati è costruibile se e solo se è della forma , .

 
Dimostrazione

Il poligono regolare con lati è costruibile se e solo se è costruibile una radice primitiva -esima dell'unità.

: per ipotesi, la radice primitiva è costruibile, allora per il corollario. Inoltre ha come polinomio minimo e , quindi . Eguagliando le due espressioni di segue quindi che , cioè . Proviamo che .

Se non è una potenza di 2, potrò scrivere con numero dispari. Il polinomio ammette come radice quindi

ma questo contraddice il fatto che sia primo. Rimane provato che è una potenza di 2.

: per ipotesi , considero con radice primitiva -esima dell'unità. Il gruppo è abeliano di ordine (anzi ciclico perché è primo). Allora esiste una catena di sottogruppi , dove è normale in e . Per il teorema della corrispondenza di Galois, considerando i campi intermedi , trovo una catena di campi con , e questo significa che è costruibile per il teoerma che fornisce un criterio per la costruibilita' (il primo teorema della sezione).

 

Più in generale, se considero un poligono regolare con lati, esso è costruibile se è costruibile una radice -esima primitiva dell'unità , e ha grado sopra . Ora è costruibile se e solo se , dove per e .

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