Criterio per la costruibilità

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<math>1 \longrightarrow 2</math>: Supponiamo che <math>z</math> sia costruibile, allora esiste una successione<math display="block">0,\, 1,\, z_1=i,\, z_2,\dots,z_s=z</math>dove gli <math>z_i</math> sono numeri complessi tali che <math>z_{i+1}</math> si ottiene come punto di intersezione di retta-retta, retta-circonferenza o circonferenza-circonferenza, definite a partire dagli elementi precedenti della successione, cioè a partire dai punti <math>0,1,z_1,\dots,z_i</math>.<br>
 
<math>1 \longrightarrow 2</math>: Supponiamo che <math>z</math> sia costruibile, allora esiste una successione<math display="block">0,\, 1,\, z_1=i,\, z_2,\dots,z_s=z</math>dove gli <math>z_i</math> sono numeri complessi tali che <math>z_{i+1}</math> si ottiene come punto di intersezione di retta-retta, retta-circonferenza o circonferenza-circonferenza, definite a partire dagli elementi precedenti della successione, cioè a partire dai punti <math>0,1,z_1,\dots,z_i</math>.<br>
 
Definiamo<math display="block">E_0=F_0 :=\mathbb Q</math><math display="block">E_1=F_1 :=\mathbb Q(i).</math><math display="block">Supponendo\, di\, aver\, definito\, E_i,\, definiamo</math>
 
Definiamo<math display="block">E_0=F_0 :=\mathbb Q</math><math display="block">E_1=F_1 :=\mathbb Q(i).</math><math display="block">Supponendo\, di\, aver\, definito\, E_i,\, definiamo</math>
<math display="block">F_{i+1} = E_i(z_{i+1}); \; E_{i+1} = F_{i+1}(\bar z_{i+1})</math><math display="block"></math>Supponiamo di aver dimostrato che <math>E_i</math> contenga l'unità immaginaria e sia chiuso per coniugio. Allora vogliamo provare che
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<math display="block">F_{i+1} = E_i(z_{i+1}); \; E_{i+1} = F_{i+1}(\bar z_{i+1})</math>Supponiamo di aver dimostrato che <math>E_i</math> contenga l'unità immaginaria e sia chiuso per coniugio. Allora vogliamo provare che
  
 
#<math>|F_{i+1}:E_i| \le 2</math>
 
#<math>|F_{i+1}:E_i| \le 2</math>

Versione delle 19:37, 3 apr 2018

Lemmi preliminari

Considereremo sottocampi tali che

  1. contiene l'unità immaginaria, cioè ;
  2. è chiuso rispetto al coniugio, cioè se , anche .


Lemma 5.1

Sia un campo che soddisfa le proprietà 1 e 2. Siano e due elementi di , allora

  1. ;
  2. se è l'equazione della retta che passa per e , allora .
  3. se è l'equazione della circonferenza di centro e passante per il punto di coordinate , allora .
 
Dimostrazione
  1. , e siccome è chiuso per coniugio, anche , allora siccome è chiuso rispetto alla somma e alla differenza, si ha , e . Di conseguenza, siccome e , anche , e lo stesso vale per .
  2. Se è la retta che passa per e , segue che e , allora, facendo la differenza tra queste due condizioni, si ha
    quindi , perché è espressa come somma e differenza e prodotto di elementi che per il punto 1 stanno in . Di conseguenza, siccome per la prima equazione si ha anche .
  3. Se è l'equazione della circonferenza di centro e passante per , sostituendo le coordinate di nell'equazione segue che
    cioè .
 


Lemma 5.2

Sia un campo che soddisfa le proprietà 1 e 2. Sia , dove si ottiene come intersezione di

  1. due rette definite a partire da punti in ,
  2. retta e circonferenza definite a partire da punti in ,
  3. due circonferenze definite a partire da punti di .

Allora .

 
Dimostrazione

Distinguiamo i tre casi:

  1. è punto di intersezione di due rette, e . Per il lemma precedente , allora
    e, sottraendo tra loro le due equazioni, ottengo
    cioè . Per la prima equazione anche . Siccome contiene l'unità immaginaria, e quindi e l'estensione ha grado 1.
  2. è punto d'intersezione tra la retta di equazione e la circonferenza di equazione .Allora per il lemma precedente. Sostituendo le coordinate di nelle due equazioni ottengo
    e sostituendo la prima equazione nella seconda ottengo
    Quest'equazione è di secondo grado e ha coefficienti in . Allora .Inoltre , si ha che , quindi , quindi .
  3. si ottiene come punto di intersezione di due circonferenze,
    Allora soddisfa l'equazione ottenuta sottraendo a , cioè
    che è l'equazione di una retta, e quindi ci si riconduce al caso 2.
 

Condizione necessaria e sufficiente per la costruibilità

Teorema 5.2

Un numero complesso è costruibile se e solo se esiste una catena di campi della forma , dove , e .

 
Dimostrazione

: Supponiamo che sia costruibile, allora esiste una successione

dove gli sono numeri complessi tali che si ottiene come punto di intersezione di retta-retta, retta-circonferenza o circonferenza-circonferenza, definite a partire dagli elementi precedenti della successione, cioè a partire dai punti .
Definiamo
Supponiamo di aver dimostrato che contenga l'unità immaginaria e sia chiuso per coniugio. Allora vogliamo provare che

  1. anche soddisfa le proprietà 1 e 2.

L'affermazione è vera perché e soddisfano le ipotesi del lemma 2. L'unita' immaginaria è contenuta in ogni . Per dimostrare le affermazioni I) e II) distinguiamo due casi:

  • , e quindi . Per ipotesi, è chiuso per coniugio, quindi , segue anche che ; per quest'ultimo fatto, ovviamente si ha e soddisfa le proprietà 1 e 2, e valgono quindi le affermazioni II) e III).
  • HA GRADO 2 SU , segue che ha un polinomio minimo della forma , cioè risolve l'equazione . Passando ai coniugati, segue che è radice del polinomio a coefficienti in , e quindi anche in . Allora rimane vero che , perché , e vale l'affermazione II).

La chiusura per coniugio di segue dal fatto che

quindi, un generico elemento di è della forma
e quindi anche il coniugato di questo elemento sta ancora in ( stanno ancora in perché è chiuso rispetto al coniugio).

Provando le affermazioni I), II), e III) abbiamo costruito una catena di estensioni

come nell'enunciato.
: viceversa, dobbiamo dimostrare che se esiste una catena di campi
dove e allora è costruibile.

Basta dimostrare il seguente fatto: se è un sottocampo di , tutti gli elementi di sono costruibili ed esiste tale che , allora tutti gli elementi di sono costruibili. Vogliamo quindi mostrare che ogni è costruibile. Siccome , dato , segue che , e sarà lo zero di un polinomio della forma a coefficienti in . Posto , si ha e , e è costruibile se è costruibile, quindi non è restrittivo supporre che . Pongo , e mostriamo che è costruibile. Distinguiamo due casi:

CASO 1: . Allora è costruibile con le seguenti operazioni:

  • traccio la circonferenza con centro in passante per ;
  • costruisco la retta passante per e parallela all'asse delle y (per fissare le idee suppongo che ).
  • chiamo il punto di intersezione tra ed di ascissa positiva, e ne determino le coordinate.

ha equazione

e ponendo :
e il punto di intersezione tra e la retta ottengo
ha coordinate .

  • costruisco la retta passante per e parallela all'asse x.
  • il punto di intersezione tra e l'asse y ha coordinate .

CASO 2: , cioè . è costruibile con le seguenti operazioni:

  • considero la circonferenza centrata nell'origine e passante per (posso farlo perché per ipotesi ).
  • chiamo il punto di intersezione tra e l'asse x, cioè .
  • chiamo la retta passante per e .
  • Traccio la retta ortogonale a passante per il punto medio tra e .
  • ho individuato il punto intersezione di ed , che ha coordinate cioe'e' costruibile.

Osservo che , e siccome abbiamo appena mostrato che è costruibile, allora possiamo costruire dove è costruibile per il caso 1.

 


Corollario 5.2

Sia , se è costruibile allora con .

 
Dimostrazione

Se è costruibile, esiste un campo con e . Siccome , e quindi è una potenza di 2.

 

Tre problemi classici

Discutiamo i seguenti problemi classici:

  1. QUADRATURA DEL CERCHIO: si vuole costruire con riga e compasso un quadrato di area pari a quella di un cerchio dato.Assumiamo che il cerchio abbia raggio 1, allora per risolvere il problema bisognerebbe costruire con riga e compasso . Questo non e' possibile perché è trascendente su , mentre per la proposizione precedente è costruibile solo se .
  2. DUPLICAZIONE DEL CUBO: costruire con riga e compasso un cubo di volume doppio del volume di un cubo dato. Assumiamo che il cubo dato abbia lato 1, allora bisognerebbe costruire con riga e compasso , ma ha grado 3 su , e quindi non è costruibile perché non soddisfa le ipotesi del corollario.
  3. TRISEZIONE DELL'ANGOLO DI : costruire un angolo pari a un terzo di quello dato. Posso costruire con le seguenti operazioni:#*costruisco la circonferenza di centro l'origine e raggio 1;#*costruisco la retta passante per e parallela all'asse y.#*il punto è uno dei punti di intersezione tra e .Tuttavia non posso costruire , perché questa è una radice primitiva 18-esima dell'unità, il cui polinomio minimo ha grado , e non è una potenza di 2.

Costruzione di poligoni regolari

Teorema 5.3

Sia un numero primo, allora il poligono regolare con lati è costruibile se e solo se è della forma , .

 
Dimostrazione

Il poligono regolare con lati è costruibile se e solo se è costruibile una radice primitiva -esima dell'unità.

: per ipotesi, la radice primitiva è costruibile, allora per il corollario. Inoltre ha come polinomio minimo e , quindi . Eguagliando le due espressioni di segue quindi che , cioè . Proviamo che .

Se non è una potenza di 2, potrò scrivere con numero dispari. Il polinomio ammette come radice quindi

ma questo contraddice il fatto che sia primo. Rimane provato che è una potenza di 2.

: per ipotesi , considero con radice primitiva -esima dell'unità. Il gruppo è abeliano di ordine (anzi ciclico perché è primo). Allora esiste una catena di sottogruppi , dove è normale in e . Per il teorema della corrispondenza di Galois, considerando i campi intermedi , trovo una catena di campi con , e questo significa che è costruibile per il teoerma che fornisce un criterio per la costruibilita' (il primo teorema della sezione).

 

Più in generale, se considero un poligono regolare con lati, esso è costruibile se è costruibile una radice -esima primitiva dell'unità , e ha grado sopra . Ora è costruibile se e solo se , dove per e .

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