Teorema dell'elemento primitivo

Teorema 6.1 (teorema dell'elemento primitivo)

Ogni estensione separabile di grado finito è semplice.

 

Risultato preliminare

Per la dimostrazione serve il seguente risultato preliminare:
Proposizione 6.1

Sia un'estensione di grado finito. Allora è semplice se e solo se esiste un numero finito di campi intermedi tra e .

 
Dimostrazione
Supponiamo che esista un numero finito di campi intermedi tra e : distinguiamo i due casi seguenti.

CASO 1: FINITO. Se è finito, anche è finito, allora quindi , cioè è semplice.

CASO 2: INFINITO. Sia un elemento di grado massimo su . Vogliamo provare che . Supponiamo per assurdo che , allora posso prendere e considerare la famiglia di campi intermedi . Siccome per ipotesi esiste solo un numero finito di campi intermedi, si ha per certi , .

Quindi contiene e , e deve contenere anche la loro differenza, . Ma quindi , e siccome , anche sta in . Allora , assurdo perché era stato scelto di grado massimo su .

: viceversa, sia , considero un campo intermedio tra ed . Sia il polinomio minimo di su , e il polinomio minimo di su . è monico, della forma . Considero il campo . Siccome per ogni , e posso considerare la catena di estensioni . Mostro che .

  1. , infatti , e siccome , .
  2. , infatti e quindi .

cioè dalle due disuguaglianze segue che .

Ma è anche un fattore di , e se penso a in un suo campo di spezzamento, esso è della forma . Il polinomio si ottiene come prodotto di alcuni , e siccome questi sono in numero finito, anche i prodotti possibili sono un numero finito. Allora, siccome i campi intermedi si identificano con (dove i sono i coefficienti di un fattore irriducibile di ), esiste un numero finito di campi intermedi.

 

Teorema dell'elemento primitivo

Teorema 6.2 (teorema dell'elemento primitivo)

Ogni estensione separabile di grado finito di un campo è semplice.

 
Dimostrazione

Sia un'estensione separabile di grado finito. Sia la chiusura spezzante di su , così . Siccome è separabile, è anche la chiusura normale di su , quindi è normale, e posso considerare che è finito e ha un numero finito di sottogruppi. Per il teorema fondamentale della teoria di Galois, esiste un numero finito di campi intermedi tra e : un campo intermedio tra e è anche un campo intermedio tra e , e quindi esiste solo un numero finito di campi intermedi tra e . Quindi è semplice per il risultato precedente.

 
Successivo