Teorema dell'elemento primitivo

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Versione attuale delle 14:09, 21 mag 2018

Teorema 6.1 (teorema dell'elemento primitivo)

Ogni estensione separabile di grado finito è semplice.

 

Risultato preliminare[modifica | modifica wikitesto]

Per la dimostrazione serve il seguente risultato preliminare:
Proposizione 6.1

Sia un'estensione di grado finito. Allora è semplice se e solo se esiste un numero finito di campi intermedi tra e .

 
Dimostrazione
Supponiamo che esista un numero finito di campi intermedi tra e : distinguiamo i due casi seguenti.

CASO 1: FINITO. Se è finito, anche è finito, allora quindi , cioè è semplice.

CASO 2: INFINITO. Sia un elemento di grado massimo su . Vogliamo provare che . Supponiamo per assurdo che , allora posso prendere e considerare la famiglia di campi intermedi . Siccome per ipotesi esiste solo un numero finito di campi intermedi, si ha per certi , .

Quindi contiene e , e deve contenere anche la loro differenza, . Ma quindi , e siccome , anche sta in . Allora , assurdo perché era stato scelto di grado massimo su .

: viceversa, sia , considero un campo intermedio tra ed . Sia il polinomio minimo di su , e il polinomio minimo di su . è monico, della forma . Considero il campo . Siccome per ogni , e posso considerare la catena di estensioni . Mostro che .

  1. , infatti , e siccome , .
  2. , infatti e quindi .

cioè dalle due disuguaglianze segue che .

Ma è anche un fattore di , e se penso a in un suo campo di spezzamento, esso è della forma . Il polinomio si ottiene come prodotto di alcuni , e siccome questi sono in numero finito, anche i prodotti possibili sono un numero finito. Allora, siccome i campi intermedi si identificano con (dove i sono i coefficienti di un fattore irriducibile di ), esiste un numero finito di campi intermedi.

 

Teorema dell'elemento primitivo[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 6.2 (teorema dell'elemento primitivo)

Ogni estensione separabile di grado finito di un campo è semplice.

 
Dimostrazione

Sia un'estensione separabile di grado finito. Sia la chiusura spezzante di su , così . Siccome è separabile, è anche la chiusura normale di su , quindi è normale, e posso considerare che è finito e ha un numero finito di sottogruppi. Per il teorema fondamentale della teoria di Galois, esiste un numero finito di campi intermedi tra e : un campo intermedio tra e è anche un campo intermedio tra e , e quindi esiste solo un numero finito di campi intermedi tra e . Quindi è semplice per il risultato precedente.

 
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