Teorema dell'elemento primitivo

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Ogni estensione separabile di grado finito è semplice.
 
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==Risultato preliminare==
 
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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di grado finito.  Allora <math>M \supseteq K</math> è semplice se e solo se esiste un numero finito di campi intermedi tra <math>K</math> e <math>M</math>.
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di grado finito.  Allora <math>M \supseteq K</math> è semplice se e solo se esiste un numero finito di campi intermedi tra <math>K</math> e <math>M</math>.
 
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: Supponiamo che esista un numero finito di campi intermedi tra <math>K</math> e <math>M</math>: distinguiamo i due casi seguenti.
 
: Supponiamo che esista un numero finito di campi intermedi tra <math>K</math> e <math>M</math>: distinguiamo i due casi seguenti.
 
  
 
CASO 1: <MATH>K</MATH> FINITO. Se <math>K</math> è finito, anche <math>M</math> è finito, allora <math>M^* = \langle \alpha \rangle</math> quindi <math>M=K(\alpha)</math>, cioè <math>M \supseteq K</math> è semplice.
 
CASO 1: <MATH>K</MATH> FINITO. Se <math>K</math> è finito, anche <math>M</math> è finito, allora <math>M^* = \langle \alpha \rangle</math> quindi <math>M=K(\alpha)</math>, cioè <math>M \supseteq K</math> è semplice.
  
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CASO 2: <MATH>K</MATH> INFINITO. Sia <math>\alpha \in M</math> un elemento di grado massimo su <math>K</math>. '''Vogliamo provare che <math>M=K(\alpha)</math>'''. Supponiamo per assurdo che <math>K(\alpha) \subset M</math>, allora posso prendere <math>\beta \in M, \beta \notin K(\alpha)</math> e considerare la famiglia di campi intermedi <math>\{K(\alpha+c\beta) \}_{c \in K}</math>. Siccome per ipotesi esiste solo un numero finito di campi intermedi, si ha <math>K(\alpha+k\beta) = K(\alpha+h\beta)</math> per certi <math>h,k \in K</math>, <math>h \neq k</math>.
  
CASO 2: <MATH>K</MATH> INFINITO. Sia <math>\alpha \in M</math> un elemento di grado massimo su <math>K</math>. '''Vogliamo provare che <math>M=K(\alpha)</math>'''. Supponiamo per assurdo che <math>K(\alpha) \subset M</math>, allora posso prendere <math>\beta \in M, \beta \notin K(\alpha)</math> e considerare la famiglia di campi intermedi <math>\{K(\alpha+c\beta) \}_{c \in K}</math>. Siccome per ipotesi esiste solo un numero finito di campi intermedi, si ha <math>K(\alpha+k\beta) = K(\alpha+h\beta)</math> per certi <math>h,k \in K</math>, <math>h \neq k</math>.
 
 
Quindi <math>K(\alpha+h\beta)</math> contiene <math>\alpha+h\beta</math> e <math>\alpha+k \beta</math>, e deve contenere anche la loro differenza, <math>(h-k)*\beta</math>. Ma <math>h-k \neq 0 \in K</math> quindi <math>\beta \in K(\alpha+h\beta)</math>, e siccome <math>\alpha =(\alpha+k\beta)-k\beta</math>, anche <math>\alpha</math> sta in <math>K(\alpha+h\beta)</math>. Allora <math>|K(\alpha+h\beta:K| > |K(\alpha):K|</math>, assurdo perché <math>\alpha</math> era stato scelto di grado massimo su <math>M</math>.
 
Quindi <math>K(\alpha+h\beta)</math> contiene <math>\alpha+h\beta</math> e <math>\alpha+k \beta</math>, e deve contenere anche la loro differenza, <math>(h-k)*\beta</math>. Ma <math>h-k \neq 0 \in K</math> quindi <math>\beta \in K(\alpha+h\beta)</math>, e siccome <math>\alpha =(\alpha+k\beta)-k\beta</math>, anche <math>\alpha</math> sta in <math>K(\alpha+h\beta)</math>. Allora <math>|K(\alpha+h\beta:K| > |K(\alpha):K|</math>, assurdo perché <math>\alpha</math> era stato scelto di grado massimo su <math>M</math>.
  
 
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<math>1 \longrightarrow 2</math>: viceversa, sia <math>M=K(\alpha)</math>, considero un campo intermedio <math>L</math> tra <math>K</math> ed <math>M</math>. Sia <math>f(x)</math> il polinomio minimo di <math>\alpha</math> su <math>K</math>, e <math>g(x)</math> il polinomio minimo di <math>\alpha</math> su <math>L</math>. <math>g(x)</math> è monico, della forma <math>x^r+a_1 x^{r-1}+\dots +a_r, \, a_i \in L</math>. Considero il campo <math>K(a_1,\dots,a_r)</math>.  Siccome <math>a_i \in L</math> per ogni <math>i</math>, <math>K(a_1,\dots,a_r) \subseteq L</math> e posso considerare la catena di estensioni <math>M \supseteq L \supseteq K(a_1,\dots,a_r)\supseteq K</math>. '''Mostro che <math>|M:K(a_1,\dots,a_r)|=r=|M:L|</math>.'''
 
 
<MATH>1 \LONGRIGHTARROW 2</MATH>: viceversa, sia <math>M=K(\alpha)</math>, considero un campo intermedio <math>L</math> tra <math>K</math> ed <math>M</math>. Sia <math>f(x)</math> il polinomio minimo di <math>\alpha</math> su <math>K</math>, e <math>g(x)</math> il polinomio minimo di <math>\alpha</math> su <math>L</math>. <math>g(x)</math> è monico, della forma <math>x^r+a_1 x^{r-1}+\dots +a_r, \, a_i \in L</math>. Considero il campo <math>K(a_1,\dots,a_r)</math>.  Siccome <math>a_i \in L</math> per ogni <math>i</math>, <math>K(a_1,\dots,a_r) \subseteq L</math> e posso considerare la catena di estensioni <math>M \supseteq L \supseteq K(a_1,\dots,a_r)\supseteq K</math>. '''Mostro che <math>|M:K(a_1,\dots,a_r)|=r=|M:L|</math>.'''
 
 
#<math>|M:K(a_1,\dots,a_r)| \ge r</math>, infatti <math>|M:L| = \rm{gr}(g(x)) = r</math>, e siccome <math>K(a_1,\dots,a_r) \subseteq    L</math>, <math>|M:K(a_1,\dots,a_r)|\geq|M:L|</math>.
 
#<math>|M:K(a_1,\dots,a_r)| \ge r</math>, infatti <math>|M:L| = \rm{gr}(g(x)) = r</math>, e siccome <math>K(a_1,\dots,a_r) \subseteq    L</math>, <math>|M:K(a_1,\dots,a_r)|\geq|M:L|</math>.
 
#<math>|M:K(a_1,\dots,a_r)| \le r</math>, infatti <math>g(x)\in K(a_1,\ldots,a_r)[x]</math> e <math>g(\alpha)=0</math> quindi <math>|M:K(a_1,\dots,a_r)| \leq r</math>.
 
#<math>|M:K(a_1,\dots,a_r)| \le r</math>, infatti <math>g(x)\in K(a_1,\ldots,a_r)[x]</math> e <math>g(\alpha)=0</math> quindi <math>|M:K(a_1,\dots,a_r)| \leq r</math>.
  
 
cioè dalle due disuguaglianze segue che <math>L=K(a_1,\dots,a_r)</math>.
 
cioè dalle due disuguaglianze segue che <math>L=K(a_1,\dots,a_r)</math>.
 
  
 
Ma <math>g(x)</math> è anche un fattore di <math>f(x)</math>, e se penso a <math>f(x)</math> in un suo campo di spezzamento, esso è della forma <math>\prod_i (x-\alpha_i)</math>. Il polinomio <math>g(x)</math> si ottiene come prodotto di alcuni <math>x-\alpha_i</math>, e siccome questi sono in numero finito, anche i prodotti possibili sono un numero finito. Allora, siccome i campi intermedi si identificano con <math>K(c_1,\dots,c_r)</math> (dove i <math>c_i</math> sono i coefficienti di un fattore irriducibile di <math>f(x)</math>), esiste un numero finito di campi intermedi.
 
Ma <math>g(x)</math> è anche un fattore di <math>f(x)</math>, e se penso a <math>f(x)</math> in un suo campo di spezzamento, esso è della forma <math>\prod_i (x-\alpha_i)</math>. Il polinomio <math>g(x)</math> si ottiene come prodotto di alcuni <math>x-\alpha_i</math>, e siccome questi sono in numero finito, anche i prodotti possibili sono un numero finito. Allora, siccome i campi intermedi si identificano con <math>K(c_1,\dots,c_r)</math> (dove i <math>c_i</math> sono i coefficienti di un fattore irriducibile di <math>f(x)</math>), esiste un numero finito di campi intermedi.
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==Teorema dell'elemento primitivo==
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Versione attuale delle 14:09, 21 mag 2018

Teorema 6.1 (teorema dell'elemento primitivo)

Ogni estensione separabile di grado finito è semplice.

 

Risultato preliminare[modifica | modifica wikitesto]

Per la dimostrazione serve il seguente risultato preliminare:
Proposizione 6.1

Sia un'estensione di grado finito. Allora è semplice se e solo se esiste un numero finito di campi intermedi tra e .

 
Dimostrazione
Supponiamo che esista un numero finito di campi intermedi tra e : distinguiamo i due casi seguenti.

CASO 1: FINITO. Se è finito, anche è finito, allora quindi , cioè è semplice.

CASO 2: INFINITO. Sia un elemento di grado massimo su . Vogliamo provare che . Supponiamo per assurdo che , allora posso prendere e considerare la famiglia di campi intermedi . Siccome per ipotesi esiste solo un numero finito di campi intermedi, si ha per certi , .

Quindi contiene e , e deve contenere anche la loro differenza, . Ma quindi , e siccome , anche sta in . Allora , assurdo perché era stato scelto di grado massimo su .

: viceversa, sia , considero un campo intermedio tra ed . Sia il polinomio minimo di su , e il polinomio minimo di su . è monico, della forma . Considero il campo . Siccome per ogni , e posso considerare la catena di estensioni . Mostro che .

  1. , infatti , e siccome , .
  2. , infatti e quindi .

cioè dalle due disuguaglianze segue che .

Ma è anche un fattore di , e se penso a in un suo campo di spezzamento, esso è della forma . Il polinomio si ottiene come prodotto di alcuni , e siccome questi sono in numero finito, anche i prodotti possibili sono un numero finito. Allora, siccome i campi intermedi si identificano con (dove i sono i coefficienti di un fattore irriducibile di ), esiste un numero finito di campi intermedi.

 

Teorema dell'elemento primitivo[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 6.2 (teorema dell'elemento primitivo)

Ogni estensione separabile di grado finito di un campo è semplice.

 
Dimostrazione

Sia un'estensione separabile di grado finito. Sia la chiusura spezzante di su , così . Siccome è separabile, è anche la chiusura normale di su , quindi è normale, e posso considerare che è finito e ha un numero finito di sottogruppi. Per il teorema fondamentale della teoria di Galois, esiste un numero finito di campi intermedi tra e : un campo intermedio tra e è anche un campo intermedio tra e , e quindi esiste solo un numero finito di campi intermedi tra e . Quindi è semplice per il risultato precedente.

 
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