Separabilità e inseparabilità

Campi perfetti

Sia un campo di caratteristica , con primo. Allora esiste l'omomorfismo di Frobenius tale che . Vale che

Inoltre e in particolare è iniettivo.

L'immagine di , indicata con , è l'insieme ed è un sottocampo di .

Definizione 6.1

si dice perfetto se , cioè se è suriettivo: in altre parole, è perfetto se comunque prendo , esiste tale che .

 


Esempio 6.1

Ogni campo finito di caratteristica prima è tale che , e quindi è perfetto.

 


Esempio 6.2 (esempio di campo non perfetto infinito)

Considero campo delle funzioni razionali a coefficienti in nell'indeterminata . Allora . Infatti, se , esisterebbe con , tale che , cioè , ma questo non può avvenire perché se così fosse si avrebbe .

 


Teorema 6.3

Sia un polinomio irriducibile e non separabile. Allora primo, e non è perfetto (e quindi in particolare non è finito).

 
Dimostrazione

Dire irriducibile e non separabile significa che , e quindi necessariamente primo, e per un certo . Ora è un polinomio della forma . Se fosse perfetto, si avrebbe che per un certo , e quindi

dove ho posto . Quindi ma è irriducibile quindi questo non può avvenire.

 


Corollario 6.1

Sia un campo con o primo e perfetto. Allora ogni estensione algebrica di è separabile.

 
Dimostrazione

Sia un'estensione algebrica di , allora ogni è algebrico su . Il polinomio minimo di che è irriducibile in dev'essere separabile, altrimenti per il lemma precedente non sarebbe perfetto.

 


Corollario 6.2

Sia un campo con caratteristica prima, e un polinomio irriducibile allora per , e per un certo polinomio irriducibile e separabile.

 
Dimostrazione

CASO 1: Se , è separabile, allora il risultato è vero se prendo , e .

CASO 2: Se invece , per un certo . Ora dev'essere irriducibile, perché se ammettesse una fattorizzazione propria, si avrebbe , e , ma è irriducibile e quindi questo non può avvenire. In particolare .

Per induzione sul grado, il risultato è vero per , cioè posso scrivere , con e separabile e irriducibile. Allora e quindi vale l'asserto anche per .

 

Estensione puramente inseparabile

Definizione 6.2

Data un'estensione algebrica, si dice separabile (su ) se ogni elemento di è separabile su , ovvero se per ogni , il polinomio minimo di in è un polinomio separabile (su ).

 


Definizione 6.3

Data un'estensione algebrica, dico che è puramente inseparabile se gli unici elementi di separabili su sono gli elementi di (un'estensione puramente inseparabile ha il minor numero possibile di elementi separabili).

 


Esempio 6.3

come estensione di se stesso è puramente inseparabile.

 


Osservazione 6.1

Se è un'estensione algebrica e puramente inseparabile, allora e non può essere perfetto per il primo teorema dimostrato.

 


Teorema 6.4

Sia un'estensione algebrica, con campo di caratteristica prima. Allora sono equivalenti queste tre affermazioni:

  1. è puramente inseparabile su ;
  2. comunque prendo , per ;
  3. ogni elemento di ha polinomio minimo su della forma , con e .
 


Corollario 6.3

Sia un'estensione semplice, con di caratteristica primo, e per un certo . Allora è puramente inseparabile su .

 
Dimostrazione

Sia , devo mostrare che . Infatti, se questo avviene, è puramente inseparabile su per il teorema appena enunciato.

, allora con . Quindi, siccome siamo in caratteristica

perché per ipotesi .

 


Esempio 6.4

Per avere un esempio non banale di estensione puramente inseparabile prendo un campo di caratteristica primo, non perfetto. Allora esiste un elemento . Pongo , sia il campo di spezzamento per su , e una radice di . Considero . Siccome , , quindi è un'estensione di puramente inseparabile.

Osservo che , perché . Inoltre è campo di spezzamento per su , perché con , cioè .

 

Conclusione: se è un campo con primo e non perfetto, allora ammette un'estensione puramente inseparabile non banale.

Condizioni equivalenti ad essere puramente inseparabile

Teorema 6.5

Data un'estensione algebrica con primo, allora sono equivalenti

  1. è puramente inseparabile.
  2. per ogni , esiste con ;
  3. il polinomio minimo su di ogni elemento di è della forma
 
Dimostrazione

: sia e il polinomio minimo di su . Allora per il corollario precedente posso scrivere con polinomio irriducibile e separabile. Allora è polinomio minimo di essendo irriducibile e monico, e quindi è separabile su . Ma per l'ipotesi l'estensione è puramente inseparabile quindi tutti gli elementi separabili su stanno in , allora .

: per ipotesi, , cioè è radice del polinomio . Ma essendo in caratteristica , , quindi un fattore irriducibile di in sarà della forma . Siccome , segue che è il polinomio minimo di su e quindi è univocamente determinato. Dunque e' l'unico fattore irriducibile di in e pertanto è una potenza di , quindi e . Segue che con .

: sia e supponiamo che sia separabile su . Vogliamo mostrare che . Per ipotesi il polinomio minimo di su è della forma .

implica che . Allora . Se (e quindi ), ma dev'essere separabile, allora non può avere radici multiple, rimane provato che e .

 


Corollario 6.4

Sia un campo di caratteristica , con primo, e un'estensione di puramente inseparabile. Allora

  1. Se , allora e sono puramente inseparabili.
  2. se è finito, allora .
 
Dimostrazione
  1. è puramente inseparabile, quindi per il teorema appena dimostrato,dato , si ha che per . Allora , quindi è puramente inseparabile.Inoltre se , si ha , e siccome è puramente inseparabile, per un certo , quindi è puramente inseparabile.
  2. Procediamo per induzione su . Se , allora e quindi il passo base vale. Altrimenti, prendo , allora per la condizione 3 del teorema precedente, il polinomio minimo di su è della forma . Quindi . Considero la catena di estensioni . Per la prima parte di questo corollario, è puramente inseparabile, e ha grado perché hoscelto , allora per induzione e il resto segue dal teorema della torre, cioè .
 


Corollario 6.5 (transitività delle estensioni puramente inseparabili)

Data la catena di estensioni , con e estensioni puramente inseparabili, allora è puramente inseparabile.

 
Dimostrazione

Sia , e , allora oppure , da cui segue che (voglio escludere il caso di caratteristica 0). Data , , ma è puramente inseparabile quindi posso applicare questa proprietà ad , cioè , e quindi è puramente inseparabile.

 

Proprietà del campo degli elementi separabili su F

Sia un'estensione algebrica, e considero l'insieme

Allora è un campo, ed è l'unico campo con , puramente inseparabile e separabile.

Per dimostrare questo fatto è necessario il seguente lemma:
Lemma 6.1

Sia con separabili su , allora è separabile.

 
Dimostrazione

Siano i polinomi minimi di e rispettivamente su , e sia .

Sia campo di spezzamento per su . Ora è un polinomio i cui fattori irriducibili, , sono separabili su , allora è normale di grado finito.

Se considero la catena di estensioni , con separabile, segue che anche è separabile.

 


Teorema 6.6

Sia un'estensione algebrica, e sia

Allora è un campo, ed è l'unico campo intermedio tale che è puramente inseparabile e è separabile.

 
Dimostrazione
  1. Per dimostrare che è un campo, basta mostrare che, dati , e per . Considero , che è un'estensione separabile di per il lemma precedente. contiene e , e quindi sono separabili su . In particolare stanno in .
  2. ovviamente è separabile per come è definito.
  3. Rimane da provare che è puramente inseparabile. Possiamo assumere che , perché in caratteristica , esaurisce tutti gli elementi di . Sia , e considero polinomio minimo di su .Si avrà con monico, irriducibile e separabile. Inoltre , allora è il polinomio minimo di ed è separabile, quindi è separabile su , cioè per definizione , quindi è puramente inseparabile perché vale la condizione 3 del teorema.
  4. Mostriamo l'unicità di . Sia un campo con , con separabile e puramente inseparabile. Mostriamo che .Dal fatto che è separabile, segue che tutti gli elementi di sono separabili su , quindi . Allora considero la catena di estensioni : siccome è puramente inseparabile, anche lo è. Considero ora la catena di estensioni , siccome è separabile, anche è separabile. Allora perché è contemporaneamente separabile e puramente inseparabile su .
 


Corollario 6.6

Sia un'estensione di grado finito e non separabile, allora .

 


Dimostrazione

Siccome per ipotesi l'estensione è non separabile, si ha che primo. Sia l'insieme degli elementi di separabili su , allora , è puramente inseparabile e . Dal teorema della torre segue che .

 


Proposizione 6.2

Sia una catena di estensioni con separabile e separabile, allora è separabile.

 


Dimostrazione

Sia l'insieme degli elementi di separabili su . Siccome è separabile, segue che , allora posso considerare la catena di estensioni . Siccome è separabile segue che è separabile per un argomento già visto. Inoltre è puramente inseparabile e unendo le due condizioni si ha , e quindi è separabile.

 

Grado di separabilità

Definizione 6.4

Sia un'estensione di grado finito, e sia l'insieme degli elementi di separabili su . Si dice grado di separabilità di su il grado di su , cioè .

 
L'estensione è separabile se e solo se . In generale , e il quoziente è una potenza di .
Lemma 6.2

Sia un'estensione puramente inseparabile, e sia monico, irriducibile e separabile. Allora è irriducibile in .

 
Dimostrazione

Sia un fattore monico e irriducibile di in , e mostriamo che , provando così che rimane irriducibile in . Sia il campo di spezzamento per su , quindi . Allora in , posso scrivere dove gli sono radici di e quindi anche di .

Sia

e voglio mostrare che . Gli , radici di , sono anche radici di . Ora è polinomio minimo di ciascuna sua radice in particolare di ciascun . Per ipotesi è separabile su , allora gli stanno in , allora . Inoltre quindi i coefficienti di stanno in .

Concludo che infatti valgono questi fatti:

  1. e è puramente inseparabile, allora è puramente inseparabile.
  2. per costruzione è separabile, e quindi anche è separabile.

Allora , cioè , allora .

 


Teorema 6.7

Sia un'estensione di grado finito, e siano campi intermedi tra ed con puramente inseparabile, separabile, separabile, puramente inseparabile, come mostra lo schema seguente:

Allora .

 
Dimostrazione

Mostro le due disuguaglianze:

DISUGUAGLIANZA 1: : Sia , e sia il suo polinomio minimo. Siccome è puramente inseparabile, rimane irriducibile come polinomio in . Allora . Per il teorema dell'elemento primitivo, siccome è separabile, posso scrivere (con abuso di notazione). Allora . DISUGUAGLIANZA 2: : e per il teorema dell'elemento primitivo posso scrivere per un certo . è puramente inseparabile, allora per un certo , (se , e ). Considero . Da un lato, siccome , è puramente inseparabile; d'altra parte , e siccome è separabile, lo è anche . Deduco che .

Quindi

perché . Noto anche che la seconda uguglianza segue dallo stesso argomento usato all'inizio di questa dimostrazione.

 


Teorema 6.8 (moltiplicatività del grado di separabilità)

Siano campi con finito. Allora .

 


Dimostrazione

Considero lo schema seguente:

Considero , e chiamo
allora segue che è puramente inseparabile, è separabile. Considero poi , e pongo
allora segue che è puramente inseparabile e è separabile.
Considero la catena di estensioni
e pongo
allora è puramente inseparabile, mentre è separabile.

Ogni pezzo della catena di estensioni è separabile. Allora è separabile per transitività.

Se considero , è puramente inseparabile e è puramente inseparabile, allora è puramente inseparabile. Per l'unicità del campo intermedio che soddisfa queste due condizioni segue che

Segue che , inoltre per il teorema della torre
ma per il teorema precedente, e cioè, unendo queste formule, .

 
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