Estensioni di grado infinito

Considero un'estensione normale algebrica, ma eliminiamo l'ipotesi che sia finita che era stata fondamentale in molte dimostrazioni della teoria di Galois. In questa situazione posso ancora definire e l'insieme dei campi intermedi, l'insieme dei sottogruppi di e le mappe "primo". è un gruppo topologico, cioè un gruppo che è anche uno spazio topologico, in cui chiedo che le applicazioni tale che e siano continue.


Più precisamente, il gruppo di Galois di un'estensione algebrica infinita è un gruppo profinito.


Definizione 6.7

Diremo che l'insieme è diretto se comunque prendo , esiste con e .

 

Sistema inverso

Considero un insieme con insieme diretto. Per ogni con , considero la mappa tale che

  1. è l'identità su .
  2. Considero , e le mappe , e . Richiedo che
    In altre parole, richiedo che il diagramma seguente sia commutativo:

Un insieme con queste proprietà si chiama sistema inverso di gruppi.


Definizione 6.8

Considero (prodotto diretto dei gruppi). L'insieme

indicato con il simbolo si definisce limite inverso.

 

Gruppo di Galois di un'estensione infinita

Considero un'estensione algebrica normale . Le estensioni normali si possono caratterizzare come estensioni separabili e campi di spezzamento su di una famiglia di polinomi (in analogia con le estensioni finite).


Considero la famiglia Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \mathcal F=\{L_i, \, i \in I \, t.c. \, M \supseteq L_i \supseteq K, \; L_i \supseteq K \textrm{ è normale di grado finito}\}.}

Ordino l'insieme in modo che se . Devo provare che è un insieme diretto. Questo è vero infatti, date estensioni normali di grado finito, se pongo , allora è ancora un'estensione di grado finito normale che contiene e , cioè . Questo dipende da due fatti.

  1. , allora posso considerare la base di su . Posso pensare a , allora
  2. Viceversa, dati , segue che .



Chiamo . Allora posso considerare l'insieme con insieme diretto per quanto dimostrato sopra. Per , definisco la mappa tale che . Queste mappe sono ben definite poiché . In questo modo è un sistema inverso di gruppi.


Mostro che . Posso considerare infatti l'isomorfismo tale che . Mostriamo i seguenti fatti:

  1. L'elemento con sta nel limite inverso, cioè, per , . Infatti
    e questo è vero perché .
  2. è suriettiva: dato appartenente al limite inverso, esso definisce un elemento univocamente determinato di . Questo dipende dal fatto che .In particolare, preso , l'estensione è algebrica. Considero la chiusura spezzante , che è anche chiusura normale, di , allora è un'estensione di normale e di grado finito. In esiste che contiene .Allora definisco che opera su come . è un automorfismo, infatti dati , , allora esiste che contiene . agisce su come . è un automorfismo, allora anche lo è.
  3. è anche iniettiva. Dato , voglio mostrare che . Prendo , allora appartiene a un'estensione di grado finito di , in particolare esiste t.c. con normale. Allora, poiché ,
    quindi e quindi .


Suppongo di avere gruppi finiti, lo si rende un gruppo topologico dando la topologia discreta. Considero e ad esso do la topologia prodotto. Il limite inverso è un sottospazio del limite diretto. Il limite diretto e' compatto perché ogni è compatto. Il limite inverso è un chiuso contenuto in un compatto e quindi è compatto, è Hausdorff ed è totalmente sconnesso. Dato , se e solo se è chiuso in senso topologico, cioè se in senso topologico.

Dato primo e campo con elementi e chiusura algebrica di , posso considerare che è il limite inverso dei gruppi di Galois che ottengo pensando alle estensioni finite di , Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \lim_{\leftarrow} (\mathbb Z/(p^n \\mathbb Z))_{n \ge 1}} .

 Precedente