Derivazioni

Definizione 6.5

Considero un anello non necessariamente commutativo. Definisco una derivazione di un'applicazione tale che ,

  1. ,
  2. .
 


Esempio 6.5

Sia un anello e prendo . Definisco l'applicazione tale che . La mappa è una derivazione infatti:

 


Chiamo l'insieme delle derivazioni . Prendo due derivazioni di , definisco la somma ponendo .


Il prodotto (nel senso della composizione) di due derivazioni in generale non è una derivazione. Definisco il prodotto

e in particolare mostro che :

Dimostrazione

Mostro la proprietà 2:

sfrutto la linearità
applico la proprietà 2 a e :

 


Definizione 6.6

è un anello di Lie se

  1. è un gruppo abeliano rispetto alla somma;
  2. su è definito un prodotto che è additivo nelle due componenti, cioè e , e tale che ;
  3. per il prodotto vale l'identità di Jacobi, cioe':
 

Proprietà delle derivazioni

Proprietà 1: Sia un anello commutativo, e una derivazione di , allora .

Dimostrazione

e quindi implica .

 



Proprietà 2: dato , .

Dimostrazione

Procedo per induzione. Il passo base, , vale per la proprietà 1. Suppongo l'asserto vero per e lo dimostro per .

e applicando il passo induttivo al primo addendo:

 

Derivazione sullo spazio dei polinomi

Sia un anello che sia una -algebra con campo, cioè è un anello, è uno spazio vettoriale su e


Sia un'applicazione che sia -lineare, e tale che

dove e' un insieme di generatori per come spazio vettoriale su . Mostro che è una derivazione di .

Dimostrazione

Definisco due applicazioni tali che:

e sono -lineari in ciascuna componente, cioè, ad esempio, se considero la seconda componente, dati , , segue che

Fissato si ha che per linearita' e perche' in . Analogamente, fissato , si ha . Allora in .

 


Teorema 6.9

Sia un campo e considero l'anello dei polinomi . Allora esiste un'unica -derivazione di , , con , e tale che

 
Dimostrazione

Mostriamo l'esistenza della derivazione. Una base per è data da . Se , per le proprietà dimostrate prima si ha

Per mostrare che è una -derivazione, oltre a estenderla per linearità su , per l'osservazione precedente basta mostrare che . Questo è vero infatti

Per mostrare l'unicità, basta mostrare che ogni derivazione agisce allo stesso modo sugli elementi della base, e questo è vero, infatti, siccome per ipotesi , allora

e .


L'azione di sui polinomi segue per linearità.

 
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