Derivazioni

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Considero un anello <math>A</math> non necessariamente commutativo. Definisco una ''derivazione di <math>A</math>'' un'applicazione <math>\delta:A \to A</math>  tale che <math>\forall x,y \in A</math>,
 
Considero un anello <math>A</math> non necessariamente commutativo. Definisco una ''derivazione di <math>A</math>'' un'applicazione <math>\delta:A \to A</math>  tale che <math>\forall x,y \in A</math>,
  
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Sia <math>A</math> un anello e prendo <math>a \in A</math>. Definisco l'applicazione <math>\delta_a:A \to A</math> tale che <math>\delta_a(x) = xa-ax</math>. La mappa <math>\delta</math> è una derivazione infatti:
 
Sia <math>A</math> un anello e prendo <math>a \in A</math>. Definisco l'applicazione <math>\delta_a:A \to A</math> tale che <math>\delta_a(x) = xa-ax</math>. La mappa <math>\delta</math> è una derivazione infatti:
  
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<math>L</math> è un anello di Lie se
 
<math>L</math> è un anello di Lie se
  
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Sia <math>F</math> un campo e considero l'anello dei polinomi <math>F[x]</math>. Allora esiste un'unica <math>F</math>-derivazione di <math>F[x]</math>, <math>\delta</math>, con <math>\delta(x)=1</math>, e tale che<math display="block">\delta(\sum_{i=0}^n a_i x^i) = \sum_{i=1}^n i a_i x^{i-1}.</math>
 
Sia <math>F</math> un campo e considero l'anello dei polinomi <math>F[x]</math>. Allora esiste un'unica <math>F</math>-derivazione di <math>F[x]</math>, <math>\delta</math>, con <math>\delta(x)=1</math>, e tale che<math display="block">\delta(\sum_{i=0}^n a_i x^i) = \sum_{i=1}^n i a_i x^{i-1}.</math>
 
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Versione attuale delle 14:52, 21 mag 2018

Definizione 6.5

Considero un anello non necessariamente commutativo. Definisco una derivazione di un'applicazione tale che ,

  1. ,
  2. .
 


Esempio 6.5

Sia un anello e prendo . Definisco l'applicazione tale che . La mappa è una derivazione infatti:

 

Chiamo l'insieme delle derivazioni . Prendo due derivazioni di , definisco la somma ponendo .

Il prodotto (nel senso della composizione) di due derivazioni in generale non è una derivazione. Definisco il prodotto

e in particolare mostro che :

Dimostrazione

Mostro la proprietà 2:

sfrutto la linearità
applico la proprietà 2 a e :

 


Definizione 6.6

è un anello di Lie se

  1. è un gruppo abeliano rispetto alla somma;
  2. su è definito un prodotto che è additivo nelle due componenti, cioè e , e tale che ;
  3. per il prodotto vale l'identità di Jacobi, cioe':
 

Proprietà delle derivazioni[modifica | modifica wikitesto]

Proprietà 1: Sia un anello commutativo, e una derivazione di , allora .

Dimostrazione

e quindi implica .

 
Proprietà 2: dato , .
Dimostrazione

Procedo per induzione. Il passo base, , vale per la proprietà 1. Suppongo l'asserto vero per e lo dimostro per .

e applicando il passo induttivo al primo addendo:

 

Derivazione sullo spazio dei polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Sia un anello che sia una -algebra con campo, cioè è un anello, è uno spazio vettoriale su e

Sia un'applicazione che sia -lineare, e tale che
dove e' un insieme di generatori per come spazio vettoriale su . Mostro che è una derivazione di .

Dimostrazione

Definisco due applicazioni tali che:

e sono -lineari in ciascuna componente, cioè, ad esempio, se considero la seconda componente, dati , , segue che
Fissato si ha che per linearita' e perche' in . Analogamente, fissato , si ha . Allora in .

 


Teorema 6.9

Sia un campo e considero l'anello dei polinomi . Allora esiste un'unica -derivazione di , , con , e tale che

 
Dimostrazione

Mostriamo l'esistenza della derivazione. Una base per è data da . Se , per le proprietà dimostrate prima si ha

Per mostrare che è una -derivazione, oltre a estenderla per linearità su , per l'osservazione precedente basta mostrare che . Questo è vero infatti
Per mostrare l'unicità, basta mostrare che ogni derivazione agisce allo stesso modo sugli elementi della base, e questo è vero, infatti, siccome per ipotesi , allora
e .
L'azione di sui polinomi segue per linearità.

 
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