Derivazioni

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#<math display="block">x*\delta_a(y)+\delta_a(x)*y = x*(ya-ay)+(xa-ax)*ay = xya-xay+xay-axy</math><math display="block">= xya-axy = \delta_a(xy)</math>
 
#<math display="block">x*\delta_a(y)+\delta_a(x)*y = x*(ya-ay)+(xa-ax)*ay = xya-xay+xay-axy</math><math display="block">= xya-axy = \delta_a(xy)</math>
 
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Chiamo <math>Der(A)</math> l'insieme delle derivazioni <math>\delta:A \to A</math>. Prendo <math>\delta,\eta</math> due derivazioni di <math>A</math>, definisco la somma <math>\delta+\eta:A \to A</math> ponendo <math>x \mapsto \delta(x)+\eta(x)</math>.
 
Chiamo <math>Der(A)</math> l'insieme delle derivazioni <math>\delta:A \to A</math>. Prendo <math>\delta,\eta</math> due derivazioni di <math>A</math>, definisco la somma <math>\delta+\eta:A \to A</math> ponendo <math>x \mapsto \delta(x)+\eta(x)</math>.
  
 
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Il prodotto (nel senso della composizione) di due derivazioni in generale non è una derivazione. Definisco il prodotto<math display="block">[\delta,\eta]:= \delta \eta-\eta \delta</math>e in particolare '''mostro che <math>[\delta,\eta] \in Der(A)</math>''':
Il prodotto (nel senso della composizione) di due derivazioni in generale non è una derivazione. Definisco il prodotto
 
<math display="block">[\delta,\eta]:= \delta \eta-\eta \delta</math>
 
e in particolare '''mostro che <math>[\delta,\eta] \in Der(A)</math>''':
 
  
 
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Mostro la proprietà 2:
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Mostro la proprietà 2:<math display="block">(\delta \eta-\eta \delta)(xy) = \delta \eta(xy)-\eta \delta(xy)</math><math display="block">= \delta(x \eta(y)+\eta(x) y)-\eta (x \delta(y)+\delta(x) y)</math>sfrutto la linearità<math display="block">= \delta(x \eta(y))+\delta(\eta(x) y)-\eta (x \delta(y))-\eta (\delta(x) y)</math>applico la proprietà 2 a <math>\delta</math> e <math>\eta</math>:<math display="block">= \delta(x) \eta(y)+x \delta \eta(y)+\delta \eta(x) y+\eta(x) \delta(y)-\eta(x) \delta(y)-x \eta(\delta(y))-\eta \delta(x) y-\delta(x) \eta(y)</math><math display="block">= x \delta \eta(y)+\delta \eta(x) y-x \eta(\delta(y))-\eta \delta(x) y</math><math display="block">= x (\delta \eta(y)-\eta \delta(y))+(\delta \eta(x)- \eta \delta(x)) y</math><math display="block">= x*(\delta \eta-\eta \delta)(y)+(\delta \eta-\eta \delta)(x) y</math>
<math display="block">(\delta \eta-\eta \delta)(xy) = \delta \eta(xy)-\eta \delta(xy)</math><math display="block">= \delta(x \eta(y)+\eta(x) y)-\eta (x \delta(y)+\delta(x) y)</math>
 
sfrutto la linearità
 
<math display="block">= \delta(x \eta(y))+\delta(\eta(x) y)-\eta (x \delta(y))-\eta (\delta(x) y)</math>
 
applico la proprietà 2 a <math>\delta</math> e <math>\eta</math>:
 
<math display="block">= \delta(x) \eta(y)+x \delta \eta(y)+\delta \eta(x) y+\eta(x) \delta(y)-\eta(x) \delta(y)-x \eta(\delta(y))-\eta \delta(x) y-\delta(x) \eta(y)</math><math display="block">= x \delta \eta(y)+\delta \eta(x) y-x \eta(\delta(y))-\eta \delta(x) y</math><math display="block">= x (\delta \eta(y)-\eta \delta(y))+(\delta \eta(x)- \eta \delta(x)) y</math><math display="block">= x*(\delta \eta-\eta \delta)(y)+(\delta \eta-\eta \delta)(x) y</math>
 
 
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<math display="block">\delta(1) = \delta(1*1) = 1*\delta(1)+\delta(1)*1 = 2*\delta(1)</math>
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<math display="block">\delta(1) = \delta(1*1) = 1*\delta(1)+\delta(1)*1 = 2*\delta(1)</math>e quindi <math>\delta(1)=2\delta(1)</math> implica <math>\delta(1)=0</math>.
e quindi <math>\delta(1)=2\delta(1)</math> implica <math>\delta(1)=0</math>.
 
 
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''Proprietà 2'': dato <math>a \in A</math>, <math>\delta(a^n) = n*a^{n-1}*\delta(a)</math>.{{InizioDimostrazione}}
 
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Procedo per induzione. Il passo base, <math>\delta(1)=0</math>, vale per la proprietà 1. Suppongo l'asserto vero per <math>n-1</math> e lo dimostro per <math>n</math>.<math display="block">\delta(a^n) = \delta(a*a^{n-1}) = a*\delta(a^{n-1})+a^{n-1}*\delta(a)</math>e applicando il passo induttivo al primo addendo:<math display="block">= a*(n-1)*a^{n-2}*\delta(a)+a^{n-1}\delta(a)</math><math display="block">= (n-1)*a^{n-1}*\delta(a)+a^{n-1}\delta(a) = n*a^{n-1} \delta(a)</math>
 
 
''Proprietà 2'': dato <math>a \in A</math>, <math>\delta(a^n) = n*a^{n-1}*\delta(a)</math>.
 
 
 
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Procedo per induzione. Il passo base, <math>\delta(1)=0</math>, vale per la proprietà 1. Suppongo l'asserto vero per <math>n-1</math> e lo dimostro per <math>n</math>.
 
<math display="block">\delta(a^n) = \delta(a*a^{n-1}) = a*\delta(a^{n-1})+a^{n-1}*\delta(a)</math>
 
e applicando il passo induttivo al primo addendo:
 
<math display="block">= a*(n-1)*a^{n-2}*\delta(a)+a^{n-1}\delta(a)</math><math display="block">= (n-1)*a^{n-1}*\delta(a)+a^{n-1}\delta(a) = n*a^{n-1} \delta(a)</math>
 
 
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==Derivazione sullo spazio dei polinomi==
 
==Derivazione sullo spazio dei polinomi==
Sia <math>A</math> un anello che sia una <math>F</math>-algebra con <math>F</math> campo, cioè <math>A</math> è un anello, <math>A</math> è uno spazio vettoriale su <math>F</math> e
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Sia <math>A</math> un anello che sia una <math>F</math>-algebra con <math>F</math> campo, cioè <math>A</math> è un anello, <math>A</math> è uno spazio vettoriale su <math>F</math> e<math display="block">(\lambda a)*b = a*(\lambda b) = \lambda*(ab), \, \forall \lambda \in F, \, \forall a,b \in A.</math>Sia <math>\delta:A \to A</math> un'applicazione che sia <math>F</math>-lineare, e tale che<math display="block">\delta(uv) = u*\delta(v)+\delta(u)*v, \, \forall u,v \in B,</math>dove <math>B</math>e' un insieme di generatori per <math>A</math> come spazio vettoriale su <math>F</math>.
<math display="block">(\lambda a)*b = a*(\lambda b) = \lambda*(ab), \, \forall \lambda \in F, \, \forall a,b \in A.</math>
 
 
 
 
 
 
 
Sia <math>\delta:A \to A</math> un'applicazione che sia <math>F</math>-lineare, e tale che
 
<math display="block">\delta(uv) = u*\delta(v)+\delta(u)*v, \, \forall u,v \in B,</math>
 
dove <math>B</math>e' un insieme di generatori per <math>A</math> come spazio vettoriale su <math>F</math>.
 
 
Mostro che  <math>\delta</math> è una derivazione di <math>A</math>.
 
Mostro che  <math>\delta</math> è una derivazione di <math>A</math>.
  
 
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Definisco due applicazioni <math>\alpha,\beta:A \times A \to A</math> tali che:
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Definisco due applicazioni <math>\alpha,\beta:A \times A \to A</math> tali che:<math display="block">\alpha(u,v) := \delta(uv)</math><math display="block">\beta(u,v) := u \delta(v)+\delta(u) v</math><math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono <math>F</math>-lineari in ciascuna componente, cioè, ad esempio, se considero la seconda componente, dati <math>u,v,w \in A</math>, <math>\lambda,\mu \in F</math>, segue che<math display="block">\alpha(u,\lambda v+\mu w) = \delta(u*(\lambda v+\mu w)) = \delta(\lambda(uv)+\mu(uw)) = \lambda \delta(uv)+\mu \delta(uw) = \lambda \alpha(u,v)+\mu \alpha(u,w).</math>Fissato <math>u \in B</math> si ha che <math>\alpha(u,w) = \beta(u,w),\; \forall w \in A</math> per linearita' e perche'<math>\delta(uv) = u*\delta(v)+\delta(u)*v</math> in <math>B \times B</math>.
<math display="block">\alpha(u,v) := \delta(uv)</math><math display="block">\beta(u,v) := u \delta(v)+\delta(u) v</math><math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono <math>F</math>-lineari in ciascuna componente, cioè, ad esempio, se considero la seconda componente, dati <math>u,v,w \in A</math>, <math>\lambda,\mu \in F</math>, segue che
 
<math display="block">\alpha(u,\lambda v+\mu w) = \delta(u*(\lambda v+\mu w)) = \delta(\lambda(uv)+\mu(uw)) = \lambda \delta(uv)+\mu \delta(uw) = \lambda \alpha(u,v)+\mu \alpha(u,w).</math>
 
 
 
Fissato <math>u \in B</math> si ha che <math>\alpha(u,w) = \beta(u,w),\; \forall w \in A</math> per linearita' e perche'<math>\delta(uv) = u*\delta(v)+\delta(u)*v</math> in <math>B \times B</math>.
 
 
Analogamente, fissato <math>v \in B</math>, si ha <math>\alpha(w,v) = \beta(w,v),\; \forall w \in A</math>.
 
Analogamente, fissato <math>v \in B</math>, si ha <math>\alpha(w,v) = \beta(w,v),\; \forall w \in A</math>.
 
Allora <math>\alpha = \beta</math> in <math>A \times A</math>.
 
Allora <math>\alpha = \beta</math> in <math>A \times A</math>.
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Sia <math>F</math> un campo e considero l'anello dei polinomi <math>F[x]</math>. Allora esiste un'unica <math>F</math>-derivazione di <math>F[x]</math>, <math>\delta</math>, con <math>\delta(x)=1</math>, e tale che
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Sia <math>F</math> un campo e considero l'anello dei polinomi <math>F[x]</math>. Allora esiste un'unica <math>F</math>-derivazione di <math>F[x]</math>, <math>\delta</math>, con <math>\delta(x)=1</math>, e tale che<math display="block">\delta(\sum_{i=0}^n a_i x^i) = \sum_{i=1}^n i a_i x^{i-1}.</math>
<math display="block">\delta(\sum_{i=0}^n a_i x^i) = \sum_{i=1}^n i a_i x^{i-1}.</math>
 
 
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'''Mostriamo l'esistenza della derivazione'''. Una base <math>\mathcal B</math> per <math>F[x]</math> è data da <math>\{x^i\}_{i \ge 0}</math>. Se <math>\delta(x)=1</math>, per le proprietà dimostrate prima si ha
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'''Mostriamo l'esistenza della derivazione'''. Una base <math>\mathcal B</math> per <math>F[x]</math> è data da <math>\{x^i\}_{i \ge 0}</math>. Se <math>\delta(x)=1</math>, per le proprietà dimostrate prima si ha<math display="block">\delta(1)=0, \, \delta(x^i) = i x^{i-1},\; \forall i \geq 1</math>Per mostrare che <math>\delta</math> è una <math>F</math>-derivazione, oltre a estenderla per linearità su <math>F[x]</math>, per l'osservazione precedente '''basta mostrare che <math>\delta(x^i*x^j) = x^i*\delta(x^j)+\delta(x^i)*x^j</math>'''. Questo è vero infatti<math display="block">\delta(x^i*x^j) = \delta(x^{i+j}) = (i+j) x^{i+j-1}</math><math display="block">x^i*\delta(x^j)+\delta(x^i)*x^j = j*x^i*x^{j-1}+i x^i x^{j-1} = (i+j)*x^{i+j-1}</math>'''Per mostrare l'unicità''', basta mostrare che ogni derivazione agisce allo stesso modo sugli elementi della base, e questo è vero, infatti, siccome per ipotesi <math>\delta(x)=1</math>, allora<math display="block">\delta(x^i) = i x^{i-1} \delta(x) = i x^{i-1}</math>e <math>\delta(1)=0</math>.<br>
<math display="block">\delta(1)=0, \, \delta(x^i) = i x^{i-1},\; \forall i \geq 1</math>
 
Per mostrare che <math>\delta</math> è una <math>F</math>-derivazione, oltre a estenderla per linearità su <math>F[x]</math>, per l'osservazione precedente '''basta mostrare che <math>\delta(x^i*x^j) = x^i*\delta(x^j)+\delta(x^i)*x^j</math>'''. Questo è vero infatti
 
<math display="block">\delta(x^i*x^j) = \delta(x^{i+j}) = (i+j) x^{i+j-1}</math><math display="block">x^i*\delta(x^j)+\delta(x^i)*x^j = j*x^i*x^{j-1}+i x^i x^{j-1} = (i+j)*x^{i+j-1}</math>
 
 
 
'''Per mostrare l'unicità''', basta mostrare che ogni derivazione agisce allo stesso modo sugli elementi della base, e questo è vero, infatti, siccome per ipotesi <math>\delta(x)=1</math>, allora
 
<math display="block">\delta(x^i) = i x^{i-1} \delta(x) = i x^{i-1}</math>
 
e <math>\delta(1)=0</math>.
 
 
 
 
 
 
L'azione di <math>\delta</math> sui polinomi segue per linearità.
 
L'azione di <math>\delta</math> sui polinomi segue per linearità.
 
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Versione delle 16:00, 22 set 2017

Definizione 6.5

Considero un anello non necessariamente commutativo. Definisco una derivazione di un'applicazione tale che ,

  1. ,
  2. .
 


Esempio 6.5

Sia un anello e prendo . Definisco l'applicazione tale che . La mappa è una derivazione infatti:

 

Chiamo l'insieme delle derivazioni . Prendo due derivazioni di , definisco la somma ponendo .

Il prodotto (nel senso della composizione) di due derivazioni in generale non è una derivazione. Definisco il prodotto

e in particolare mostro che :

Dimostrazione

Mostro la proprietà 2:

sfrutto la linearità
applico la proprietà 2 a e :

 


Definizione 6.6

è un anello di Lie se

  1. è un gruppo abeliano rispetto alla somma;
  2. su è definito un prodotto che è additivo nelle due componenti, cioè e , e tale che ;
  3. per il prodotto vale l'identità di Jacobi, cioe':
 

Proprietà delle derivazioni

Proprietà 1: Sia un anello commutativo, e una derivazione di , allora .

Dimostrazione

e quindi implica .

 
Proprietà 2: dato , .
Dimostrazione

Procedo per induzione. Il passo base, , vale per la proprietà 1. Suppongo l'asserto vero per e lo dimostro per .

e applicando il passo induttivo al primo addendo:

 

Derivazione sullo spazio dei polinomi

Sia un anello che sia una -algebra con campo, cioè è un anello, è uno spazio vettoriale su e

Sia un'applicazione che sia -lineare, e tale che
dove e' un insieme di generatori per come spazio vettoriale su . Mostro che è una derivazione di .

Dimostrazione

Definisco due applicazioni tali che:

e sono -lineari in ciascuna componente, cioè, ad esempio, se considero la seconda componente, dati , , segue che
Fissato si ha che per linearita' e perche' in . Analogamente, fissato , si ha . Allora in .

 


Teorema 6.9

Sia un campo e considero l'anello dei polinomi . Allora esiste un'unica -derivazione di , , con , e tale che

 
Dimostrazione

Mostriamo l'esistenza della derivazione. Una base per è data da . Se , per le proprietà dimostrate prima si ha

Per mostrare che è una -derivazione, oltre a estenderla per linearità su , per l'osservazione precedente basta mostrare che . Questo è vero infatti
Per mostrare l'unicità, basta mostrare che ogni derivazione agisce allo stesso modo sugli elementi della base, e questo è vero, infatti, siccome per ipotesi , allora
e .
L'azione di sui polinomi segue per linearità.

 
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