Semigruppi e Monoidi

Definizione ed esempi

Definizione

In generale, preso un insieme non vuoto con un'operazione binaria associativa, esso si dice semigruppo.

 


Definizione

Se inoltre ammette un'unità, allora la struttura viene detta monoide. Se si tratta di un'operazione additiva, l'unità si chiama del monoide. Se l'operazione è un prodotto, l'unità si chiama o unità del monoide.

 


Esempio

Rispetto alla somma, l'insieme dei naturali escluso forma un semigruppo, ma non un monoide perché non c'è l'unità.

 


Esempio

Invece è un monoide rispetto alla somma.

 


Esempio

rispetto all'operazione di prodotto è un monoide.

 


Esempio

Preso e l'operazione intersezione o unione, queste operazioni sono associative quindi si ha a che fare con semigruppi. Si tratta anche di monoidi, perché è l'unità rispetto all'intersezione e è l'unità rispetto all'unione.

 


Esempio

Preso l'insieme di tutte le relazioni binarie, e la composizione come operazione , è un semigruppo. L'identità funziona da elemento neutro, quindi ho un monoide.

 

Definizione di potenza

Supponiamo di avere un monoide e di chiamare l'operazione prodotto. L'unità si chiama . Se vale la proprietà associativa si può dare la definizione di potenza.


Definizione

Sia un elemento del monoide. Definiamo la potenza n-esima dell'elemento di per ogni ponendo: per definizione, e , usando il principio di induzione si definisce ricorsivamente .

 


Proposizione

In ogni monoide valgono le usuali proprietà delle potenze:

Fissato arbitrario, le proprietà sono facilmente dimostrabili per induzione su .


In un monoide, non si chiede a priori che il prodotto sia commutativo.


Ad esempio, preso l'insieme delle matrici quadrate con l'operazione di prodotto, sono un monoide. Il prodotto è associativo ma non commutativo.


Se , allora si può avere , altrimenti questa proprietà non è soddisfatta.

 
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