Gruppi

Definizione

Definizione

Sia un insieme non vuoto e un'operazione. La coppia si dice gruppo se è un monoide, con unità in cui per ogni esiste tale che .

 


Definizione

Non si richiede che sia commutativa, ma se lo è, allora il gruppo si chiama abeliano (in onore di Abel, 1802-1829).

 


Definizione

Notazione moltiplicativa: L'operazione viene chiamata prodotto, indicato con . L'unità si indica con . Per ogni , l'inverso si indica con .

 


Definizione

Notazione additiva: L'operazione si chiama somma, l'unità è . In questo caso l'inverso additivo di un elemento si indica con e si chiama opposto.

 


Esercizio

Gli assiomi di gruppo sono sovrabbondanti. Per definire un gruppo sarebbe sufficiente definire un semigruppo e richiedere che ogni elemento abbia un inverso sinistro.

 

Prime proprietà formali di calcolo

Sono le prime proprietà che derivano dagli assiomi di gruppo espressi nella definizione. Con la notazione moltiplicativa:


Proposizione

, questo è vero perché

 


Proposizione

Per tre elementi comunque scelti, si ha che se vale l'uguaglianza , questa implica necessariamente e si ha anche implica (il gruppo a priori non è commutativo).

 


Dimostrazione

Moltiplicando ambo i membri per l'inversa di ottengo . Queste leggi non valgono in generale in un monoide, perché lì non è richiesto che ogni elemento sia invertibile.

 

Definizione di potenza

In un gruppo si può definire per ogni elemento la nozione di potenza con esponente relativo, mentre in un monoide si definisce solo la potenza con esponente positivo.


Definizione

Se , allora è l'unità di , per , , e se ,

 


In notazione additiva, la nozione di potenza equivale alla nozione di multiplo.


Definizione

Si definisce la nozione di multiplo secondo un intero relativo. Il multiplo secondo di è . Se il multiplo è Se , .

 


Proposizione

Valgono le proprietà delle potenze: Con sono numeri relativi e vale che

Se e sono positivi il risultato si ricava dai monoidi.


Anche nei gruppi e sono uguali solo se è commutativa.

 
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