Esempi di gruppi e sottogruppi

Gruppi numerici

Esempio

è l'insieme dei numeri interi relativi. La coppia dove rappresenta la somma di interi, è un gruppo (abeliano) ed è chiamato Gruppo additivo degli interi relativi.

 


Esempio

rispetto alla somma di numeri razionali è un gruppo, costruito a partire da quello degli interi. è un sottogruppo di .

 


Esempio

Il gruppo additivo dei razionali si può considerare come sottogruppo del gruppo additivo dei reali, contenuto a sua volta nel gruppo additivo dei numeri complessi.

 


Esempio

Presa l'operazione di prodotto, non forma un gruppo, perché gli unici interi relativi che ammettono inverso nei numeri relativi sono e .

 


Esempio

Tuttavia, i razionali rispetto al prodotto non formano un gruppo, perché non ha l'inverso. Se chiamo , rispetto al prodotto questo costituisce il gruppo moltiplicativo dei razionali non nulli, sottoinsieme del sottogruppo moltiplicativo dei reali non nulli, sottogruppo del gruppo moltiplicativo dei complessi non nulli.

 


Tutti questi sono gruppi abeliani infiniti.

Gruppi non abeliani

Un gruppo di simmetria in genere non è commutativo. A parte i casi numerici classici, gli altri gruppi sono tipicamente non commutativi.


Definizione

Sia un campo. In breve un campo è un insieme con almeno due oggetti, che è un gruppo abeliano rispetto alla somma. Gli elementi diversi dallo formano un gruppo rispetto al prodotto, di cui è l'elemento neutro, e il prodotto è anch'esso commutativo.

 


Esempio

Chiamiamo l'insieme di tutte le matrici quadrate di ordine a elementi in . Possiamo definire tre operazioni: la somma di matrici, il prodotto righe per colonne e il prodotto di una matrice per uno scalare. Una matrice è invertibile rispetto al prodotto se e solo se . Denotiamo con il sottoinsieme di costituito da tutte e sole le matrici invertibili rispetto al prodotto righe per colonne. Allora è chiuso rispetto al prodotto di matrici (il prodotto di matrici con determinante diverso da 0 è ancora una matrice con determinante diverso da 0). rispetto al prodotto è un monoide, ma non un gruppo. Per il teorema di Binet, per ogni , . Quindi se e sono invertibili, anche è invertibile. Quindi se considero rispetto al prodotto esso è un gruppo: infatti il prodotto è un'operazione binaria che a due elementi dell'insieme associa una matrice dell'insieme. L'unità è la matrice identica.


Il prodotto di matrici qualsiasi è sempre associativo. Ogni matrice invertibile ha inversa rispetto al prodotto. Questo è un gruppo non abeliano per qualsiasi .


Questo gruppo si chiama gruppo generale lineare delle matrici di ordine .


Esso ha sottogruppi di ordine inferiroe, ad esempio si può considerare il sottogruppo delle matrici con determinante , denotato con gruppo speciale lineare. Anche le matrici diagonali invertibili formano un sottogruppo.


Si può anche considerare il sottogruppo delle matrici triangolari superiori invertibili.


Le matrici scalari (multipli delle identità) formano un sottogruppo fatto da tutte e sole le matrici che commutano e formano il centro di .

 

Anticipazione sugli anelli

Esempio

Presa una matrice di ordine , essa è invertibile in se e solo se esiste una matrice a elementi nell'anello tale che sia . Se è invertibile, valendo ancora il teorema di Binet, si ha . Se è invertibile il suo prodotto con l'inversa deve dare l'unità dell'anello. Il suo determinante deve avere un inverso nell'anello, quindi dev'essere invertibile in e dev'essere o .


Inversamente, se è invertibile in , allora è un elemento di e allora è inversa di .


Conclusione: Perché una matrice nell'anello abbia inversa, occorre solo che il suo determinante sia invertibile nell'anello. Ad esempio nel caso di le matrici invertibili sono quelle con determinate uguale a .

 
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