Azioni di gruppo

Definizione

Definizione

Si dice azione di un gruppo su un insieme un'applicazione dal prodotto a stesso che alla coppia associa un elemento . L'applicazione soddisfa due condizioni:

  1. (l'unità del gruppo opera come l'identità)

(il prodotto opera come la composizione di due applicazioni su )

 



Assegnata un'azione di su si dice anche che è un -insieme (un insieme su cui opera). L'azione di su si dice banale se per ogni , e per ogni , (se ogni elemento di agisce come l'identità su ).

Biezione tra G e S_X

Lemma (197)

C'è una biezione tra l'insieme delle azioni di un gruppo sull'insieme e l'insieme degli omomorfismi dal gruppo al gruppo simmetrico su (gruppo di applicazioni biettive con l'operazione di composizione).

 


Dimostrazione

Corrispondenza azione morfismo: Data un'azione, , per ogni resta definita un'applicazione, che chiamo di in se stesso definita ponendo: . Si noti che è biettiva, cioè è un elemento di .


Iniettività: Supponiamo che abbiano la stessa immagine mediante , cioè che . Allora posso far agire l'inversa sui due elementi e ottengo . Allora implica (per la condizione 1), allora è iniettiva.


Suriettività: ogni elemento di ha una preimmagine per , basta porre . Infatti . (deriva sempre dalle condizioni 1 e 2 della definizione).


In particolare è biettiva, ed è un elemento di .


Morfismo: Possiamo definire l'applicazione che a ogni elemento di associa la permutazione su . Questa applicazione definita ponendo, per ogni , è un morfismo di gruppi. In altre parole, data un'azione di su ad essa si può associare un morfismo tra e descritto sopra, tale che a ogni elemento di associa .


Dobbiamo provare che comunque scelga due elementi , allora . (il prodotto delle immagini eseguito nel gruppo simmetrico è la composizione).

Per la proprietà 2 della nozione di azione valgono le seguenti equivalenze:
. Allora e è un morfismo.


Corrispondenza morfismo azione: Inversamente, sia un morfismo di gruppi. Allora ponendo per ogni e per ogni , , resta definita un'azione di su .


è biettiva. Verifichiamo le proprietà della definizione di azione:

  1. Vale la proprietà 1: . Quindi opera come l'identità su .
  2. Se prendo elementi ottengo .


Per costruzione le corrispondenze azione morfismo e morfismo azione descritte sono l'una l'inversa dell'altra.


Si realizza una biezione tra l'insieme di tutte le azioni di un gruppo su un insieme e i morfismi di in .

 

Rappresentazione di permutazioni

Definizione

Un morfismo da un gruppo al gruppo si dice rappresentazione di permutazioni di su .

 
Osservazione

In generale, dato un morfismo da a , l'immagine è un sottogruppo di . Un monomorfismo è un morfismo iniettivo. In un monomorfismo il nucleo è ridotto all'unità di .


Vale anche viceversa: se il nucleo è ridotto alla sola unità, il morfismo è iniettivo.

 
Definizione

Ogni sottogruppo del gruppo simmetrico su si dice gruppo di permutazioni.

 

Se ha nucleo ridotto all'unità di , ovvero è un monomorfismo, allora è isomorfo alla sua immagine per il teorema di omomorfismo (infatti il quoziente ed è isomorfo a ).

Definizione

Un morfismo è una rappresentazione fedele se ha nucleo ridotto all'unità di , ossia se è monomorfismo.

 
Osservazione

Se in generale ho un morfismo, potrebbe perdere vari elementi rispetto al gruppo di partenza.

 

Azioni di G su se stesso

Nel caso in cui è finito, si ha il teorema di Kayley.


Consideriamo l'azione di sull'insieme che è definita ponendo, per ogni coppia , che sta ancora in .


Se fisso e considero la permutazione , essa è la moltiplicazione a sinistra di ogni per . Si può verificare che è un'azione:

  1. è il prodotto dell'unità per l'elemento di , che è ancora uguale ad .
  2. Se prendo e calcolo ottengo


Per ogni fissato la permutazione manda ogni elemento nel prodotto , cioè è la moltiplicazione a sinistra per degli elementi . A ogni elemento di viene associata la permutazione sugli elementi di .

Definizione

Il morfismo si dice rappresentazione regolare sinistra di .

 

Proprietà della rappresentazione regolare

è un monomorfismo, ed è una rappresentazione fedele del gruppo nel gruppo simmetrico infatti .

Osserviamo che se è l'identità su , deve essere . Con le leggi di cancellazione si ha . Dunque e si ha un monomorfismo. (se considero la permutazione , se non è l'unità nessun elemento è fissato).


Abbiamo provato che la permutazione è priva di punti fissi.

Teorema di Kayley

Nel caso in cui sia un gruppo finito si può enunciare il seguente teorema riguardante la rappresentazione regolare.


Teorema

Sia un gruppo finito di ordine , allora esiste un momomorfismo da al gruppo simmetrico tale che il gruppo (che è isomorfo a ) risulta costituito da permutazioni tali che siano prive di punti fissi e decomponibili nel prodotto di cicli a due a due disgiunti di lunghezza , dove .

 
Dimostrazione

Il morfismo cercato è la rappresentazione regolare sinistra; è iniettivo quindi l'immagine di mediante è isomorfa a o equivalentemente è una rappresentazione fedele di .


Proviamo che è una permutazione priva di punti fissi e scrivo come agisce sugli elementi:

infatti se è il periodo di , e torno in e il ciclo si chiude.


Questo è un ciclo di lunghezza : l'immagine di un elemento si ottiene moltiplicandolo a sinistra per . Se non ci sono altri cicli (il numero di cicli è ).


Altrimenti prendo un nuovo elemento e scrivo il ciclo:

Anche questo ciclo è di lunghezza .

 



Esiste anche una rappresentazione regolare destra. Cerco un morfismo da al gruppo simmetrico dove è la permutazione sugli elementi di che ottengo moltiplicando a destra gli elementi di per . Solo in questo modo il morfismo è ben definito (deriva dal fatto di usare gli operatori a destra).

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