Radici di un polinomio

Anello delle funzioni

Sia un insieme non vuoto. Allora possiamo considerare l'insieme di tutte le applicazioni da a . Sia un anello. Allora con si indica l'insieme di tutte le applicazioni da ad . Allora possiamo definire una somma e un prodotto.

  1. Per ogni , la somma è tale che , (la somma delle immagini si può definire

perché le immagini sono elementi di ).

  1. Analogamente il prodotto ha come risultato il prodotto delle immagini .

Si dà così a una struttura di anello: l'anello delle funzioni da ad .


Nel caso particolare in cui , allora l'anello delle funzioni da ad è isomorfo ad . è un anello commutativo e indichiamo con l'anello dei polinomi a coefficienti in .

Funzione polinomiale

Definizione

Se definiamo una funzione associata tale che , (si sostituisce all'indeterminata uno scalare ). Questa funzione si dice funzione polinomiale associata al polinomio . Per abuso di linguaggio, scriveremo invece di .

 


Lemma (342)

Consideriamo l'applicazione definita ponendo, per ogni :

è l'applicazione che a ogni polinomio associa la sua applicazione polinomiale. è un morfismo di anelli tra l'anello dei polinomi e l'anello delle funzioni polinomiali. ( associa alla somma e al prodotto di polinomi rispettivamente la somma e il prodotto delle funzioni polinomiali).

 

Nella dimostrazione si tiene conto del fatto che e commutano con tutte le costanti.

Dimostrazione

Siano e due polinomi, allora:

 


In particolare, per il lemma preso un polinomio , allora calcolando si ha (il valore della funzione polinomiale su è uguale al valore del prodotto delle immagini).

Omomorfismo di valutazione

Supponiamo di avere una qualsiasi estensione di anelli . Allora possiamo considerare l'anello che è un sottoanello di . Allora per ogni e per ogni , possiamo considerare l'elemento che è un elemento di , cioè valutare .

Definizione

La mappa da definita ponendo per ogni , è un morfismo di anelli e si chiama omomorfismo di valutazione.

 
Osservazione

Considerando l'omomorfismo , esso in generale non è iniettivo. Preso un anello commutativo generico non è necessariamente vero che due polinomi distinti hanno funzioni polinomiali distinte.


Se è finito, l'anello delle funzioni di in sé è finito, mentre il dominio di è infinito perché i polinomi possono avere tutti i gradi possibili, quindi va da un insieme infinito a uno finito e non può essere iniettivo. Ad esempio, se è finito l'anello è finito e quindi il nucleo non può essere ridotto a zero.

 
Esempio

Supponiamo che sia , il campo delle classi di resti modulo con primo. Allora tutte le classi hanno inverso rispetto al prodotto, cioè , cioè gli elementi unitari sono tutte le classi di resti diverse dalla classe , cioè con coprimo con . Per il teorema di Lagrange presa una qualsiasi classe diversa dalla classe , (in termini di congruenze, se è un primo arbitrario e un intero coprimo con , allora ) (teorema di Fermat).


Possiamo concludere che comunque si scelga un elemento nel campo , allora se considero . Infatti se il primo termine del prodotto è nullo e quindi il tutto è uguale a 0. Se invece , allora e e anche in questo caso il prodotto si annulla.


Ciò significa che la funzione polinomiale associata al polinomio di grado è la funzione identicamente nulla, cioè coincide con la funzione polinomiale associata al polinomio nullo.

 

Radice di un polinomio

Definizione

Sia un'estensione di anelli e sia un elemento di . Se è l'omomorfismo di valutazione in , allora se , diremo che è una radice o zero del polinomio .

 

Teorema di Ruffini

Sia ora un campo. Allora vale il seguente teorema.


Teorema

Sia un campo e un polinomio a coefficienti in . Allora è radice di se e solo se .

 
Dimostrazione

Supponiamo che divida , cioè . Allora se valuto in , si ha . Allora ovvero è radice di .


Viceversa, supponiamo che . Allora possiamo dividere per e otteniamo:

dove ha grado minore di . Allora
per il morfismo . Siccome rimane . Allora è una costante ed è un elemento di . Allora valutando in , ottengo sempre . Quindi si ha e , cioè il resto è nullo, quindi , cioè se è una radice, divide .

 

Relazione tra radici e riducibilità

Corollario

Se un polinomio ha grado maggiore di e ha una radice , allora è riducibile su (infatti ha almeno il fattore ).

 
Osservazione

Un polinomio di grado in con ha un'unica radice ed è irriducibile.

 


Corollario

Se è un polinomio a coefficienti in di grado o è riducibile se e solo se ammette una radice in .

 
Dimostrazione

Un polinomio riducibile di grado è fattorizzabile nel prodotto di due polinomi di grado . Un polinomio di grado invece viene fattorizzato in tre polinomi di grado o un polinomio di grado e uno di grado . Il fattore di grado che compare si può scrivere come . Allora è una radice.

 


Osservazione

Un polinomio può essere riducibile in ma non ammettere alcuna radice in .

 


Esempio

Il polinomio a coefficienti reali

E' un polinomio riducibile di grado , ma i suoi fattori di grado sono irriducibili e quindi il polinomio non ha radici.

 

Molteplicità di una radice

Definizione

Sia un polinomio e sia una costante. Diremo che è radice di di molteplicità con se ma . Se si dice radice semplice.

 


Questa definizione vale in forza del teorema di Ruffini e del teorema di fattorizzazione unica.

Esempi

Esempio

In è fattorizzabile come . A meno di fattori unitari, questa fattorizzazione completa del polinomio è unica. Allora il polinomio ha esattamente radici (altrimenti comparirebbe un altro fattore) con molteplicità .

 


Esempio

Nella fattorizzazione c'è un fattore irriducibile sui razionali e tre fattori lineari. Le radici sono con molteplicità e con molteplicità .

 


Esempio

Nel campo delle classi di resto modulo , che chiamo ,

ha come radice solo con molteplicità .


non ha radici in infatti
e essendo un polinomio di grado è anche irriducibile in .

 


Esempio

Considero il campo delle classi di resto modulo con numero primo arbitrario fissato. Considero il polinomio:

esso ha come radici semplici tutti gli elementi del campo e quindi è fattorizzabile nella forma:
.

 

Conseguenza del teorema di fattorizzazione unica

Teorema

Sia un polinomio non nullo a coefficienti in con grado . Allora la somma delle molteplicità delle eventuali radici di in non supera .

 
Dimostrazione

Se , con . Questo polinomio vale su qualsiasi elemento di e quindi non ha radici.


Supponiamo . Allora vale il teorema di fattorizzazione unica, allora è decomponibile in modo unico in fattori irriducibili in . Se nessuno di questi fattori ha grado , allora per il teorema di Ruffini non ha radici in e il teorema è provato. In caso contrario, sarà con costante non nulla, elementi distinti di e sono eventuali polinomi (irriducibili) in di grado maggiore di . Per l'unicità della fattorizzazione è chiaro che sono radici di in di molteplicità esattamente . E' anche evidente che non ha altre radici in . Infatti, se avesse radice , dovrebbe comparire tra gli altri fattori. Se fosse radice di con , avremmo

e questo è assurdo, perché allora tutti questi fattori sono diversi da 0, i non sono uguali a 0 perché sono irriducibili. Ho un prodotto di elementi diversi da 0 che non può essere uguale a zero in un dominio privo di divisori dello zero, quindi non è una radice.

 


Osservazione

In base all'ultimo passo della dimostrazione si capisce che il teorema precedente è falso per anelli ove non è un campo (o un dominio).

 


Esempio

In sono divisori dello zero. Il polinomio a coefficienti in questo anello:

è di grado . Si può valutarlo in tutti gli elementi e si scopre che ha come radici. Il polinomio ha grado ma ha quattro radici distinte.

 

Caso particolare: iniettività del morfismo phi

Corollario

Sia un campo (dominio) infinito. Allora l'omomorfismo di anelli cioè quello che a ogni polinomio associa la sua funzione polinomiale, è iniettivo.

 
Dimostrazione

Supponiamo che sia un polinomio che sta nel nucleo di . Allora la sua funzione polinomiale è la funzione identicamente nulla, cioè per ogni , . Allora se è infinito, ha infinite radici (tutti gli elementi di ). Per il teorema precedente, deve essere il polinomio nullo, altrimenti la somma delle molteplicità delle radici supera il suo grado. Quindi se è infinito, è lecito identificare i polinomi con le funzioni polinomiali.

 



Anticipazione: preso un qualsiasi dominio, si può passare al suo campo delle frazioni, cioè si può immergere un dominio di integrità in un campo.

Principio d'identità dei polinomi

Corollario

Siano elementi distinti del campo . Allora valgono le seguenti asserzioni:

  1. Siano polinomi in di grado , tali che si abbia per . Allora i due polinomi coincidono, cioè .
  2. Siano elementi non necessariamente distinti nel campo . Allora esiste ed è unico un polinomio a coefficienti in con grado tale che .
 
Dimostrazione

Nel punto , sia allora ma ammette le radici . Questo contraddice il teorema sulla molteplicità delle radici, e il polinomio con le radici distinte è il polinomio nullo, cioè e .


Per il punto , in base al punto esiste al più un polinomio di soddisfacente le condizioni richieste. Infatti se ne esistessero due, e che assumono lo stesso valore sugli , la loro differenza e la differenza avrebbe ancora radici distinte ed è quindi il polinomio nullo, cioè .


Per quanto riguarda l'esistenza di tale polinomio, considero il polinomio

. (La frazione equivale a moltiplicare per ).


Ciascuno di questi prodotti ha grado minore di , perché è prodotto di fattori lineari (si esclude il termine con ). Sommando i termini il grado è sicuramente minore o uguale di e .


Infatti, sostituendo con , se sarà per un certo allora nel prodotto ci sarà un termine al numeratore della forma e tutto il prodotto si annulla. Nell'unico termine del prodotto in cui , numeratori e denominatori si semplificano a due a due e rimane . L'unico termine che contribuisce alla sommatoria è .


Un polinomio di questo tipo si chiama interpolatore di Lagrange.

 

Nozione di riducibilità

Supponiamo che il campo ammetta un'estensione , cioè un campo che lo contiene. Allora se considero l'anello dei polinomi a coefficienti in , . Allora considerato un polinomio a coefficienti in , eventuali fattori irriducibili di un polinomio di grado maggiore di possono essere riducibili in , così che può essere ulteriormente fattorizzato in . Quindi la nozione di riducibilità e irriducibilità è relativa al campo in cui si pensa il polinomio.

Chiusura algebrica

In effetti, è possibile dimostrare che assegnato un campo arbitrario, si può sempre trovare un'estensione di con le seguenti proprietà:

  • ogni polinomio di di grado positivo e a maggior ragione ogni polinomio di di grado positivo è fattorizzabile in polinomi

di grado (polinomi lineari).

  • se è un'estensione di con la proprietà che ogni polinomio di grado positivo di è fattorizzabile

in fattori lineari in allora contiene un sottocampo isomorfo a .



Un campo estensione di con tale proprietà è unico a meno di isomorfismi e si dice chiusura algebrica di . Se , si dice che è un campo algebricamente chiuso. In altre parole:

Definizione

Un campo si dice algebricamente chiuso se valgono queste condizioni che sono tra loro equivalenti:

  1. preso un qualsiasi polinomio di grado esso è fattorizzabile in esattamente polinomi di grado appartenenti a .
  2. Equivalentemente, ogni polinomio di grado positivo ammette almeno una radice in .
  3. la somma delle molteplicità delle radici di ogni polinomio di grado è esattamente uguale a .
 


Le prime due condizioni sono equivalenti perché se un polinomio di grado ammette una radice, allora è divisibile per e si ha . Allora anche , se non è una costante, ha grado positivo e avrà anch'esso una radice allora divide e si va avanti così finché non si ottiene una costante e si ha .

Teorema fondamentale dell'algebra

Teorema

Il campo complesso è algebricamente chiuso ed è la chiusura algebrica del campo reale (a meno di isomorfismi la chiusura è unica).

 


Corollario

Ogni polinomio a coefficienti reali di grado positivo si decompone in in polinomi irriducibili di grado minore o uguale di .

 


Dimostrazione

Mostriamo che se è radice di , anche è radice. Infatti se è radice, .

e si ottiene
cioè è radice.


Immaginiamo che sia complesso e non reale. Questo significa che è divisibile per

. Allora siccome e ho un polinomio a coefficienti in .

 

Esempi: determinare polinomi irriducibili

In generale, preso un polinomio e un campo ci si può chiedere se il polinomio ha radici, se è irriducibile e se è fattorizzabile in irriducibili.


Esempio

Considero i polinomi a coefficienti complessi. Allora ogni polinomio si può decomporre in fattori lineari. I polinomi irriducibili in sono tutti e soli i polinomi lineari di grado della forma (per il teorema fondamentale dell'algebra).

 


Esempio

Nell'anello i polinomi irriducibili in sono i polinomi lineari e i polinomi di grado della forma in cui è negativo nei reali.

 


Esempio

Se considero il campo dei numeri razionali, non si può dire quali siano i polinomi irriducibili, ma si sa che sono infiniti e di ogni grado possibile. Sia un numero intero primo e per ogni il polinomio

è irriducibile sui razionali.


Questo si prova in generale mediante il criterio di Eisenstein.

 

Criterio di Eisenstein: sia un polinomio a coefficienti interi. Allora se esiste un primo tale che per ma ( coefficiente direttivo) e , allora il polinomio è irriducibile in .


L'esempio di prima soddisfa il criterio di Eisenstein: infatti il termine noto è e non è divisibile per , il coefficiente direttivo è e non è divisibile per , tutti gli altri coefficienti sono zeri e sono divisibili per .


Nella dimostrazione del criterio di Eisenstein si utilizza il Lemma di Gauss:se ho un polinomio su un campo, se raccolgo l' tra i coefficienti ottengo un polinomio con coefficienti coprimi tra loro (primitivo). Il prodotto di due polinomi primitivi è ancora primitivo.

Il criterio di Eisenstein e il lemma di Gauss sono enunciati formalmente e dimostrati al termine del capitolo.


Esempio

Supponiamo che . Allora esistono polinomi irriducibili di ogni grado possibile .

 

Esempi: decomposizione in fattori irriducibili

Esempio

Se considero e non esistono algoritmi generali per determinare né gli zeri né le regole per decomporre in fattori irriducibili un polinomio (metodi di approssimazione degli zeri, metodi di analisi numerica).

 


Esempio

In , esiste un algoritmo generale classico che si deve a Kronecker per decomporre un polinomio in fattori irriducibili. Questo metodo usa gli interpolatori di Lagrange, ma non è efficiente.

 


Esempio

In esistono algoritmi di fattorizzazione di un polinomio in irriducibili efficienti derivanti dall'algoritmo Berlekamp, che si basa su metodi di algebra lineare. Si riconduce il problema della fattorizzazione alla risoluzione di sistemi lineari.

 



Criterio: Se ho un polinomio a coefficienti interi

una frazione è radice per il polinomio se e solo se divide il termine noto e divide il coefficiente direttivo.

Riduzione modulo un primo

Se ho un polinomio a coefficienti interi di grado , prendo un primo che non divide il coefficiente direttivo. Se ad ogni coefficiente associo la corrispondente classe modulo , ottengo il polinomio nel campo . Se questo polinomio è irriducibile in quel campo, allora il polinomio originario è irriducibile sui razionali.


Esempio

Considero ad esempio

A questo polinomio non posso applicare il criterio di Eisenstein, perché non posso trovare un primo che divide il termine noto. Però se scelgo riduco i coefficienti del polinomio modulo e ottengo:
come polinomio a coefficienti nelle classi di resti modulo . Questo polinomio non ha radici in , infatti:
e quindi non ha radici nemmeno nel campo dei razionali.

 
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