Immersione di un dominio in un campo

Teorema

Ci si può chiedere se un dominio si può considerare come sottoanello di un opportuno campo.


Teorema

Sia un dominio. Ogni dominio si può immergere in (è isomorfo a un sottoanello di) un campo . Esiste sottoanello di e un monomorfismo tale che .

 
Dimostrazione

Cominciamo con il supporre che sia già un sottoanello di un campo . Consideriamo il sottocampo di generato da , cioè è l'intersezione di tutti i sottocampi di contenenti .


Dimostro che . è l'inverso di in .


La parentesi a destra è un sottoinsieme di , inoltre contiene perché contiene tutti gli elementi .


Inoltre, l'insieme tra parentesi graffe è un sottocampo di infatti:

  • è chiuso ridpetto alla differenza, infatti

e questo è ancora un elemento dell'insieme tra parentesi graffe.

  • è un sottogruppo di rispetto al prodotto, cioè soddisfa il criterio in con

Prendo . Allora

che appartiene ancora all'insieme.

Quindi l'insieme tra parentesi è un sottocampo di che contiene ed è contenuto nell'intersezione di tutti i campi che contengono , quindi coincide con .

 



Con questo teorema si può capire come creare un campo che contiene un anello e che sia minimale.


Consideriamo l'insieme

Su definiamo una relazione che associa a due coppie e se e solo se . Questa relazione è di equivalenza. Allora consideriamo l'insieme quoziente . Denotiamo con la classe di equivalenza contenente la coppia . Ogni coppia si chiama frazione. è per abuso di linguaggio la frazione individuata dalla coppia .


Sia l'insieme quoziente (qui, come nel teorema precedente, ). Notiamo che la classe di equivalenza coincide con se e solo se .


Sull'insieme quoziente definisco somma e prodotto.

  • La somma . Si può verificare che questa operazione è ben definita, cioè che cambiando

rappresentanti per le classi di equivalenza si trova come somma la stessa frazione.

  • Il prodotto . Il prodotto è ben definito e commutativo.

Rispetto alla somma, il quoziente è un gruppo abeliano con uguale alla classe che contiene tutte le coppie del tipo . Rispetto al prodotto, è un gruppo con unità. L'unità è la classe . L'inverso di è la classe di .


Valgono le proprietà distributive, cioè è un campo.


Consideriamo l'applicazione definita ponendo per ogni elemento , . Questa applicazione conserva la somma e il prodotto, quindi .


Similmente è conservato il prodotto:

Il nucleo è ridotto a , perché preso un elemento con immagine , se questo elemento ha come immagine si ha cioè .


Quindi il morfismo è iniettivo, è isomorfo a ed è un sottoanello di .

Osservazioni

Osservazione

Identificando ogni con , si identifica con e pertanto si può considerare come sottoanello di .

 


Osservazione

Notiamo che per ogni possiamo scrivere allora si può considerare come prodotto in di per l'inverso di . Quindi per le considerazioni iniziali genera .


Nessun sottocampo proprio di può contenere .

 

Campo delle frazioni

Definizione

Diremo che è il campo delle frazioni o campo dei quozienti del dominio .

 

Ad esempio, se è il dominio degli interi, si può costruire come campo delle frazioni il campo dei razionali.


Si può provare il seguente teorema:

Teorema

Costruiamo e come sopra. Sia un monomorfismo di a un campo , cioè un'immersione di in un campo . Allora si può estendere in un unico modo a un monomorfismo dal campo a , cioè si può estendere a un morfismo di campi.


In particolare, se è generato da allora è isomorfo a perché deve contenere .

 
Dimostrazione

Si consideri la mappa che preso un elemento di associa che va da a ed è un monomorfismo. estende , cioè . E' iniettiva, è unica. Ogni che estende è tale che l'immagine di un qualsiasi elemento di è necessariamente la stessa di .

 
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