Domini a fattorizzazione unica

Proprietà importanti

La classe dei PID è contenuta nella classe degli UFD (domini a fattorizzazione unica).

La proprietà di essere a fattorizzazione unica si trasporta dal dominio alla sua estensione polinomiale.

Valgono le seguenti osservazioni:

Osservazione
  1. Se è un dominio e scrivo se e solo se esiste tale che , cioè differisce da per un elemento

unitario, allora è una relazione di equivalenza.


Dim. E' riflessiva infatti con , è simmetrica infatti implica con e transitiva, infatti se e allora .

  1. Se , essi sono associati, cioè , perché differisce per un elemento unitario da , infatti è ancora unitario.
  2. Se è unitario e , allora è unitario. Cioè gli elementi unitari formano un'unica classe di equivalenza

rispetto alla relazione .

  1. Se e è irriducibile in , allora anche è irriducibile in .

Moltiplicando un elemento irriducibile per un unitario ottengo ancora un irriducibile.

  1. Se e allora (gli unici divisori di elementi unitari sono unitari).
 

Definizione di UFD

Definizione

Sia non ridotto a zero un dominio. si dice dominio a fattorizzazione unica se preso un qualsiasi elemento dove e non unitario, si può scrivere come prodotto di fattori irriducibili, cioè dove i sono irriducibili in . Se e sono irriducibili in , allora cioè le due fattorizzazioni hanno lo stesso numero di elementi (lunghezza di ) e a meno di un eventuale riordinamento dei , per ogni . (negli interi differisce per il segno, nei polinomi per una costante)

 

Relazione tra PID e UFD

Proposizione

Ogni dominio a ideali principali è anche un .

 
Dimostrazione

Proviamo che se è un , vale la condizione : non si trovano in sequenze infinite di elementi del tipo ove per ogni è un fattore proprio del precedente. (ovvero, in ogni sequenza tale che esiste tale che (la sequenza diventa stazionaria).


è equivalente alla : non contiene alcuna catena propriamente ascendente infinita di ideali principali del tipo (infatti in un PID, ).


Supponendo a ideali principali dimostriamo la condizione : Chiamiamo . Osserviamo che è un ideale (e siccome siamo in un è un ideale principale). L'unione insiemistica di ideali con una catena ascendente di inclusioni è undeale, perché è uguale al più grosso di questi ideali uniti.


Sia , allora esiste tale che e segue quindi . Inoltre, per ogni , segue che , ma siccome è l'unione, non esistono ideali più grossi quindi (la catena è stazionaria).


Esistenza di una fattorizzazione: Sia un elemento non unitario di . Allora mostriamo che si può esprimere come prodotto di irriducibili. Se è irriducibile, non ho niente da provare.


In caso contrario, se è riducibile, allora ha dei fattori propri e posso scrivere con fattore proprio. Allora si possono verificare due possibilità:

  1. è irriducibile.
  2. è riducibile, e quindi posso scrivere con fattore proprio.


Itero il ragionamento su . Si forma una sequenza che in forza della proprietà deve terminare dopo un numero finito di passi con un fattore irriducibile di . Diciamo irriducibile in e lo chiamiamo . Posto , si ha che , perché ho scoperto che ha un fattore irriducibile. Allora se consideriamo , se , allora è irriducibile (alterando un irriducibile per un fattore unitario è ancora irriducibile). Altrimenti, se non è unitario, posso ripetere il ragionamento fatto su . E posso scrivere con irriducibile. Iterando la procedura, si ottiene una sequenza fatta da e così via, ove divide propriamente. Inoltre, con irriducibile. Per la condizione tale sequenza deve terminare, con un elemento irriducibile. Allora pongo l'ultimo elemento , e segue che . Questo prova che ogni elemento del dominio ha una fattorizzazione in termini irriducibili.


Unicità: useremo implicitamente la nozione di fattori primi, se è primo e divide il prodotto di un certo numero di fattori, divide almeno uno di questi (si prova per induzione o usando l'associatività). Supponiamo di avere due fattorizzazioni: supponiamo di avere dove e sono irriducibili.


Proviamo per induzione su che in realtà le due fattorizzazioni coincidono. Se , allora . è irriducibile, allora non può essere fattorizzato in più di un fattore riducibile. Allora se , anche e .


Supponiamo e presa la prima fattorizzazione, è irriducibile e divide il prodotto . Allora deve dividere almeno uno dei fattori, cioè per qualche ( è anche primo). Ma anche è irriducibile e ammette solo fattori banali. Allora . Eventualmente riordinando possiamo supporre , cioè e con . Allora

valgono le leggi di cancellazione, quindi semplifico per e ottengo:
Ci sono due fattorizzazioni irriducibili di un elemento e la lunghezza della prima fattorizzazione è . Quindi per induzione su questa fattorizzazione è unica. Allora e , inoltre eventualmente riordinando per ogni .

 


Esempio

Si considera una norma euclidea. Se prendo , la norma .


Calcolo gli elementi unitari del dominio. Siccome la norma è moltiplicativa, presi due elementi in si ha

allora considero unitario in tale che . Le norme sono interi non negativi, allora se , con unitario e il suo inverso, si ha
e necessariamente . Questo implica che . Questi sono gli unici elementi unitari in .


In questo anello prendo il numero . Posso fattorizzarlo come oppure come . Ho due fattorizzazioni in elementi di si verifica che sia che sono irriducibili.


Gli elementi irriducibili sono a due a due non associati. Quindi si hanno due fattorizzazioni distinte dell'elemento in elementi irriducibili. Questi elementi sono irriducibili ma non primi. In questo dominio ci sono irriducibili che non sono primi. Questo allora non è un e non è un dominio a ideali principali.

 
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