Proprietà degli integrali

Osservazione 6.6

Se è integrabile, è quasi ovunque finita (ovvero l'insieme è trascurabile).

 


Dimostrazione

Sia .

 


Date misurabili, sono indistinguibili dal punto di vista dell'integrazione.


Dimostrazione

Supponiamo che siano positive e sia trascurabile. Allora

Similmente, . Quindi:

 


Sia una funzione misurabile, limitata su e misurabile; se è integrabile su . Infatti per un certo avremo e quindi la funzione è misurabile. A questo punto


Esempio 6.1

Consideriamo il caso particolare di spazio misurato , dove con indichiamo la misura di Borel-Lebesgue.


Se una funzione è boreliana su e integrabile (o semintegrabile) secondo , si usa solitamente la seguente notazione semplificata:

Più in generale, data integrabile su ,

Spesso poi sarà un intervallo di estremi con , e allora

 


Osservazione 6.7

La notazione che abbiamo appena utilizzato per indicare l'integrale su un intervallo fornendo gli estremi è nota e diffusa in matematica. Ma se

cosa sarà esattamente ? Sarà o ? La risposta è che in realtà non ci interessa, perché è una misura diffusa e quindi .

 


Vitali, nel 1904, stabilì la correlazione tra l'integrale secondo Riemann e quello secondo Lebesgue; più precisamente, dimostrò l'equivalenza dei seguenti due enunciati:

  1. è integrabile su secondo Riemann
  2. l'insieme[1] dei punti di discontinuità di è trascurabile secondo


e dimostrò che se valgono , allora l'integrale di Riemann e quello di Lebesgue coincidono.

  1. Si verifica facilmente che, dato uno spazio topologico ed una funzione , l'insieme dei punti di discontinuità è sempre un boreliano di .
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