Integrazione rispetto ad una misura definita da una densità

Teorema 6.9

Data una qualsiasi funzione numerica e misurabile , sia . Allora

 
Dimostrazione
Osservazione 6.10

Se

con e è misurabile positiva e la tesi è vera per ognuna delle , allora vale anche per .


Infatti

 
Osservazione 6.11

La tesi è banalmente vera quando con . Infatti

poiché

 


Le osservazioni 6.10 e 6.11 ci dicono che la tesi è vera se è semplice e positiva, perché in questo caso:

dove


Data misurabile, per il teorema di approssimazione di Lebesgue sappiamo che c'è una successione , e per la proprietà di Beppo Levi sfruttata su entrambi i termini questo ci permette di concludere:

2 grafo integrazione 1.png
 


Possiamo estendere naturalmente il risultato ad una funzione numerica misurabile qualsiasi, applicandolo separatamente a e :

è semintegrabile inferiormente (superiormente) rispetto a è semintegrabile inferiormente (superiormente) rispetto a

Se è semintegrabile, basta una sottrazione per verificare che:

Esiste un enunciato analogo a quello appena visto che riguarda l'integrazione rispetto ad una misura immagine:

Teorema 6.10

Siano ; allora

Ovvero il seguente diagramma commuta:

2 grafo integrazione 2.png
 
Dimostrazione

La struttura della dimostrazione è identica a quella del teorema precedente, è sufficiente verificare che la tesi vale per le funzioni indicatrici:

 


Osservazione 6.12

In sintesi l'equazione

vale ogni qualvolta uno dei due membri abbia senso; in tal caso infatti ha senso anche l'altro e sono uguali.

 

Sul prodotto di due misure sigma-finite[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo due spazi misurati con entrambe -finite.


Potremmo volerci chiedere se è uguale a . In realtà, dato che sono misure su spazi diversi (rispettivamente ed ), a rigor di termini la domanda non avrebbe senso; tuttavia, c'è un'applicazione che li mette naturalmente in relazione, quindi la domanda corretta è:

La risposta è sì, dato che e coincidono sui rettangoli con :

Invertibilità dell'ordine di integrazione[modifica | modifica wikitesto]

Nelle stesse ipotesi su , sia misurabile su . Allora

dove le equivalenze si giustificano con Fubini, la con il teorema 6.10 sull'integrazione rispetto ad una misura immagine.


Lo stesso si può dire - sfruttando l'altra versione del teorema di Fubini, se di non si sa che è sempre positiva ma si sa che è limitata (oltre che ovviamente misurabile): in tale caso è però necessario esigere anche che e siano finite.


Osservazione 6.13

Nel caso in cui sia limitata ma non siano finite (non è sufficiente che siano -finite), in generale l'invertibilità dell'ordine non vale.

 
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