Funzioni integrabili

Data una funzione reale (ma non più necessariamente definita positiva) , stabiliamo le seguenti notazioni:

Osserviamo che e che se è misurabile lo sono anche . Siamo quindi tentati di stabilire:
ma possiamo farlo solo a certe condizioni:

  • si dice semintegrabile inferiormente se
  • si dice semintegrabile superiormente se
  • sarà quindi integrabile se è integrabile superiormente ed inferiormente (e quindi )

Osserviamo che (è vero in generale che ).


Sia[1]

è uno spazio vettoriale su ; inoltre, date qualsiasi, .


Teorema 6.2 (Teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata)

Sia una successione di funzioni in . Se esistono tali che

e , allora è integrabile e

 


Dimostrazione

Siccome le e sono integrabili e , sappiamo che è semintegrabile inferiormente e (per il lemma di Fatou)

Similmente, è semintegrabile superiormente e

Siccome poi
otteniamo:

Quindi limite superiore ed inferiore coincidono in .

 

Notazione[modifica | modifica wikitesto]

Spendiamo due parole sulla notazione utilizzata per gli integrali; sono considerate equivalenti le seguenti[2]:

Inoltre, la seguente definizione ci permette di trattare agevolmente un integrale su (dove ):


Teorema 6.3

Data misurabile su , sono equivalenti:

  1. , ovvero
 


Dimostrazione
  • a)b):
  • b)c):

che è trascurabile in quanto unione numerabile di insiemi trascurabili.

  • c)a):

 


Diremo trascurabile rispetto a se:

  • è misurabile
  • valgono a), b), c)
  1. Con si indica l'insieme di funzioni da in (si osservi che una tale notazione è coerente con quella utilizzata per , se si intende come viene definito classicamente in logica, ovvero come un insieme).
  2. E anzi il prof. Letta predilige la notazione in cui la misura si scrive subito accanto all'integrale; io però preferisco l'altra e quindi è quella che qui ho sempre usato.
 PrecedenteSuccessivo