Funzioni di ripartizione

Consideriamo una misura di probabilità su . La sua funzione di ripartizione è definita come

Si verifica facilmente che

  1. individua univocamente
  2. è continua a destra
  3. se indichiamo con ed rispettivamente il limite sinistro ed il limite destro di ,
  4. è continua è diffusa

Inoltre:

Teorema 6.8

Sia la misura di Borel-Lebesgue su e sia un'altra misura con funzione di ripartizione derivabile in quasi (secondo ) ogni punto di . Allora:

  1. l'insieme dei punti dove non è derivabile è boreliano e .
  2. Posta
    è sempre positiva, è boreliana e, ,
    ovvero .
 

Quella data si può giustamente chiamare "decomposizione" perché e sono due misure "estranee": la massa della prima è concentrata su (perché ), quella della seconda su .


Il termine si dice "singolare".


Corollario 6.2

Nelle ipotesi del teorema precedente, sono equivalenti:

 


Dimostrazione

"(a) (b)": per ipotesi, ; dall'assoluta continuità di rispetto a segue che . Le implicazioni "(b) (c)" e "(c) (a)" sono ovvie.

 


Osservazione 6.9

Se è numerabile[1] sono equivalenti:

  1. è diffusa ( è continua)
 


Possiamo ora provare a giustificare intuitivamente l'utilizzo che facciamo della parola "densità".


Sia : una possibile tale che è proprio:

Osserviamo quindi che

ovvero è il limite puntuale di una densità media, ovvero del rapporto tra una "quantità" () contenuta in uno "spazio" e la "dimensione" () dello "spazio" stesso.

  1. Ci ho pensato e ripensato, ma un esempio di funzione crescente con una quantità più che numerabile di punti di non derivabilità non l'ho proprio trovato.
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