Definizione di integrale

Fissato uno spazio misurato , definiamo l'integrale delle funzioni (numeriche) positive e misurabili su . È un funzionale

che vogliamo rispetti le seguenti proprietà:

  1. finito,
  2. (proprietà di Beppo-Levi)


Per costruire questo funzionale, che d'ora in poi indicheremo come , possiamo definirlo inizialmente sulle funzioni semplici:

quindi estenderlo ad una qualunque funzione misurabile vista come limite superiore di una successione di funzioni semplici, verificando che le tre condizioni poste rimangono valide.

Si dimostrano quindi altre proprietà:

  1. (integrazione per serie)Dati numerabile, ,
  2. (proprietà di Beppo-Levi, versione completa)
  3. (lemma di Fatou)
Dimostrazione (Dimostrazione del lemma di Fatou)

Innanzitutto, chiariamo cosa intendiamo per limite inferiore di una successione di funzioni: per ogni , sia l'inviluppo inferiore della coda, ovvero

Allora

A questo punto, essendo la successione delle crescente,

 
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