Limiti inferiori e superiori

Definiamo:

( appartiene definitivamente ad )
( appartiene frequentemente ad )


Osservazione 2.3

 


Osservazione 2.4

 

Prima diseguaglianza di Fatou[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo ora uno spazio metrico . Per definizione,

Osserviamo che e che .


Da ciò deriva:

(ricordiamo infatti che è una qualsiasi successione di eventi, la cui misura può non avere limite; avrà però limite inferiore)

Abbiamo appena dimostrato la prima diseguaglianza di Fatou:

emphSimmetricità di liminf e limsup[modifica | modifica wikitesto]

Le seguenti definizioni alternative (che siano equivalenti a quelle già date, si verifica facilmente) di limite superiore e limite inferiore mettono in risalto la simmetricità dei due concetti:

Si potrebbe pensare che un risultato simile alla prima diseguaglianza di Fatou si possa trovare anche per il limsup: è così, ma dobbiamo aggiungere un'ipotesi. Se infatti (e quindi tantopiù se è finita), vale effettivamente:

Osserviamo infine che:

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