Impostazione di uno spazio di probabilità

Il primo passo nello studio di un esperimento aleatorio è sempre la scelta di , e . La scelta di stabilisce il "codice" con cui interpretiamo l'esperimento ed eventualmente dall'insieme di eventualità "fittizie" (non contemplate come risultato dell'esperimento reale) che vogliamo introdurre; la scelta di dipende da "cosa ci interessa" ma anche dalle capacità di analisi che abbiamo. La probabilità vuole descrivere la situazione psicologica di un (intelligente) individuo sperimentatore; ovviamente nella maggior parte dei casi ci saranno criteri che permettono di non dover definire per "ogni" evento: tipicamente, sarà sufficiente definire su una base. È più o meno dal 1933, anno in cui Kolmogorov scrisse alcuni importanti lavori, che questi passaggi vengono ormai considerati indispensabili per parlare di probabilità.


Esempio 2.1

supponiamo di lanciare volte una moneta, ad ogni lancio indichiamo con 1 "testa" e con 0 "croce":

Un'eventualità sarà in questo caso un vettore di e . La "proiezione canonica -esima", ovvero la funzione:

ci darà in questo caso l'esito del -esimo lancio.

 


Per semplicità di notazione, scriveremo per intendere

ovvero l'evento "al lancio esce testa" (in generale, data una proprietà indicheremo spesso con l'insieme - solitamente l'evento - ).


Analogamente all'esempio dato, possiamo concepire lo stesso modello con . In un tale esempio potremo poi "immergere" tutti gli altri casi.

Siano e .

Nel caso di finito, la probabilità uniforme non è altro che la pretesa che . Nel caso infinito, sarà possibile trovare una probabilità uniforme? Osserviamo che se la probabilità uniforme esiste, certamente è unica, perché gli elementi al variare di sono una base. Inoltre si ha che certamente sotto una tale probabilità ha probabilità nulla . La risposta è no: se trovassimo una tale probabilità su , avremmo risolto il problema di Banach-Kuratovski.

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