Continuità

Sia uno spazio misurato qualsiasi. Dimostriamo che è "continua sulle successioni crescenti", ovvero che:

(con indichiamo ""tende dal basso a"").

Dimostrazione

Se , per isotonia . Possiamo quindi supporre .


Sia quindi : osserviamo che

 

Vorremo riutilizzare lo stesso schema di dimostrazione per dimostrare che è continua sulle successioni "decrescenti". Dobbiamo però aggiungere un requisito, e cioé che "definitivamente"[1].


Infatti se supponiamo vero questo fatto,

In definitiva, la continuità sulle successioni descrescenti si può esprimere come segue:


Esempio 2.2

mostriamo che se non supponiamo che definitivamente, il risultato non vale: consideriamo su la "misura di Borel-Lebesgue" (la "lunghezza" definita intuitivamente sugli intervalli ed estesa ai Boreliani) e la successione con :

ma

 
  1. A causa dell'ipotesi di decrescenza, è sufficiente supporre che per un qualsiasi
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