Introduzione

Sappiamo che, data una legge su , la sua funzione di ripartizione sarà crescente, continua a destra e tale che . Vale anche un risultato inverso:

Proposizione

Sia una funzione crescente, continua a destra e tale che . Allora esiste una legge su di cui è la funzione di ripartizione.

 
Dimostrazione

Dato , l'insieme è un intervallo superiormente illimitato, con minimo[1]. Possiamo così scrivere

non è una vera funzione inversa, la chiameremo pseudo-inversa (o inversa generalizzata) ed è una funzione da in . Né , né in generale sono l'identità.

Osservazione

Se è invertibile, la sua pseudo-inversa (ristretta all'immagine di ) coincide con l'inversa.

 

Dati e ,

è crescente[2] e quindi boreliana; di conseguenza è una variable aleatoria su , dove è la misura di Borel-Lebesgue ristretta a .


La legge di ha come funzione di ripartizione proprio :

 


Sia una funzione integrabile (o semintegrabile) rispetto a , la legge di . Allora:


Osservazione


Possiamo sostituire il con solo se è continua (ovvero è strettamente crescente). È noto che i punti di discontinuità di una funzione monotona sono al più numerabili.

 


Teorema

Su uno spazio misurato , sia data una misura ed una successione . Supponiamo che

per -quasi ogni . Allora in , ossia

 


Dimostrazione

Dati . Quindi:

Ma . Dato poi che , possiamo applicare il teorema di convergenza dominata:

 


Sia una funzione limitata e misurabile su . Allora . Infatti, posto :

In particolare, se con , ne deduciamo :

  1. È l'ipotesi di continuità a destra a garantirci che l'estremo inferiore è un minimo.
Successivo