Convergenza debole

Siano una legge e una successione di leggi tutte su : si dice che converge debolmente verso se, per ogni funzione limitata, boreliana su e tale che l'insieme dei suoi punti di discontinuità sia trascurabile secondo ,

Osservazione 11.3

L'insieme dei punti di discontinuità è sempre boreliano.

 


Osservazione 11.4

Se debolmente, non necessariamente

perché questo sia vero, è necessario aggiungere l'ipotesi che , ovvero che l'insieme dei punti di discontinuità di sia trascurabile.

 


Dato un spazio probabilizzato , sia una successione di variabili aleatorie reali, un'ulteriore variabile aleatoria reale; siano quindi , . Diciamo[1] che converge in legge verso se converge debolmente verso .


Osservazione 11.5
6 grafo convergenza debole.png

ovvero se le convergono in legge, la speranza di (dove è una qualsiasi funzione -quasi ovunque continua) converge a .

 
Proposizione 11.2

Se quasi certamente, ovvero[2]

allora converge a in legge.

 


Dimostrazione

Siano (quasi certo per ipotesi) e, data funzione -quasi continua, sia , con l'insieme dei suoi punti di continuità.

Dato ,
e è continua in , quindi
Per il teorema di Lebesgue ( è limitata e quindi lo sono anche le funzioni ottenute per composizione), possiamo far passare sotto il segno di integrale i due termini di questa relazione, ottenendo (dall'arbitrarietà di ) la tesi.

 
  1. Terminologia introdotto da Maurice René Fréchet.
  2. è un evento perché è uguale a
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