Vettori aleatori

Un vettore aleatorio di componenti reali è una variabile aleatoria a valori in , dove . Dati , e variabili aleatorie reali, posta , allora è una misura di probabilità su . Se inoltre , sia una versione della densità di (ovvero tale che ). si dirà legge marginale di indice del vettore aleatorio . Se , si dirà densità marginale di indice .


Sorge spontaneo un dubbio: se ha densità, ha anche densità marginali?

Teorema 8.4

Sì.

 
Dimostrazione

Se ha densità , .

La tesi discende quindi dal teorema di Fubini, ma la dimostriamo ora più generale: siano definite, su , due misure -finite a valori rispettivamente in , e supponiamo . Allora per una qualche . Infatti sia . Allora:

La funzione

è una densità: . Lo stesso ragionamento si può fare ovviamente per .


Nel caso in cui il vettore aleatorio è a valori reali, semplicemente

 

A questo punto sorge naturale il dubbio inverso: se ogni componente di un vettore aleatorio ha densità, ce l'ha anche il vettore?


Teorema 8.5

No

 
Dimostrazione

Sia una qualsiasi variabile aleatoria reale con . La misura del vettore aleatorio è concentrata sulla diagonale. Ma la diagonale (come ogni grafico) è trascurabile, quindi tale misura non è assolutamente continua rispetto alla misura di Borel-Lebesgue, ovvero la densità congiunta non esiste.

 


C'è di peggio: anche quando la densità congiunta esiste, non è determinata dalle densità marginali, e ne vediamo subito un esempio.


Sia la ripartizione uniforme su e sia . Inoltre

, mentre evidentemente avrà misura 1 secondo la ripartizione uniforme su stesso: le due densità sono quindi diverse. Eppure esse hanno leggi marginali identiche: per entrambi gli indici, la legge marginale è la ripartizione uniforme su .


Frechet fu il primo a studiare il problema di individuare, date due leggi, la classe di leggi di cui sono leggi marginali.

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